Дан прямоугольный треугольник MNK. Из одной из его вершин построили окружность с радиусом 24 см. Прямая MN- касательно к этой окружности. Определи, какая вершина треугольника…

Давайте внимательно разберем задачу и шаг за шагом найдем ответ.

Дано:

• Треугольник MNK является прямоугольным, причём угол M равен 90°.
• Из вершины какая-то построена окружность с радиусом 24 см.
• Прямая MN является касательной к окружности.
• Длины сторон: MN = 18 см, NK = 30 см.
• Нужно определить, какая вершина треугольника является центром окружности.

---

Шаг 1. Построение начальной схемы и ключевые сведения

• Поскольку M — вершина прямого угла, то треугольник MNK — прямоугольный, и угол M = 90°.
• В треугольнике MNK гипотенуза — это сторона NK (так как она против угла 90°).
• Из условия: KN ≈ 30, а MN = 18.

Обозначим стороны как:

• MN = 18

• MK — допустим, неизвестная, но мы можем найти её, используя теорему Пифагора:

  \[ NK^2 = MN^2 + MK^2 \]

  \[ 30^2 = 18^2 + MK^2 \implies 900 = 324 + MK^2 \implies MK^2 = 576 \]

  \[ MK = \sqrt{576} = 24 \]

Итак, известно:

• MN = 18
• MK = 24
• NK = 30

---

Шаг 2. Расположение треугольника

Пусть:

• M — вершина прямого угла.
• Тогда M — вершина, у которой есть две стороны: M в точке M, а другие вершины — N и K.
• Мы можем ориентировать треугольник на плоскости, например, так:
  • Положим M в точке (0,0).
  • Пусть N находится на горизонтальной оси, тогда N в (18,0) (так как MN = 18).
  • Тогда K должно находиться так, чтобы MK = 24 и NK = 30.

Для определения координат K:

Обозначим:

• K(x, y).
• Тогда:

  • Расстояние MK = 24:

    \[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 24^2 = 576 \]

    \[ x^2 + y^2 = 576 \]

  • Расстояние NK = 30:

    \[ (x - 18)^2 + y^2 = 900 \]

Теперь решим систему:

\[ x^2 + y^2 = 576 \quad \text{(1)} \] \[ (x - 18)^2 + y^2 = 900 \quad \text{(2)} \]

Вычитая (1) из (2):

\[ (x - 18)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 900 - 576 \] \[ x^2 - 36x + 324 + y^2 - x^2 - y^2 = 324 \] \[ -36x + 324 = 324 \] \[ -36x = 0 \] \[ x = 0 \]

Подставим x=0 в уравнение (1):

\[ 0^2 + y^2 = 576 \implies y^2 = 576 \implies y = \pm 24 \]

Значит, координаты K:

• \( (0, 24) \) или \( (0, -24) \)

Чтобы сохранить ориентацию, выберем \( (0, 24) \).

---

Шаг 3. Определение центра окружности

Окружность с радиусом 24 см, касающаяся стороны MN. В условии: «Из одной из её вершин построили окружность с радиусом 24 см. Прямая MN — касательная к окружности».

Это говорит, что:

• Окружность касается стороны MN.
• Т.к. MN — горизонтальная линия (от (0,0) до (18,0)), а радиус равен 24 и окружность касается этой стороны, то центр окружности должен располагаться так, чтобы расстояние от его центра до прямой MN было равно радиусу (24).

---

Шаг 4. Варианты положения центра окружности

Поскольку MN — горизонтальная прямой (y=0), то:

• Центр окружности (O) должен находиться на расстоянии 24 от прямой y=0.
• То есть, центр может иметь координаты \( (x_0, 24) \) или \( (x_0, -24) \).

Но важно понять, какая вершина треугольника является центром окружности.

---

Шаг 5. Проверка вариантов

• Центр окружности должен находиться внутри треугольника или вне него.
• В задаче говорится, что окружность построена из вершины, и касательная — сторона MN, значит, центр окружности, скорее всего, — вершина, чтобы окружность «опиралась» (касалась) стороны MN.

Посмотрим, какая вершина: M, N или K:

• M — (0,0)
• N — (18,0)
• K — (0,24)

Проверим расстояние от каждой вершины до линии MN: у всех оно равно 0 (они на линии), значит, окружность не может иметь центр в N или M, потому что окружность должна касаться стороны MN, а не совпадать с ней.

• Тогда центр окружности — в вершине K (находится в (0,24)).

• От K до MN (y=0):

  \[ |24 - 0| = 24 \]

  что равно радиусу окружности — 24.

Это полностью совпадает с условием:

• Радиус окружности — 24 см.
• Центр — в вершине K.

Окружность, построенная в вершине K, касалась бы стороны MN, что подтверждает, что именно K — центр окружности.

---

Ответ:

Центром окружности, радиусом 24 см, которая касается стороны MN, является вершина K.

---

Если нужен более подробный разбор или есть другие вопросы — обращайтесь!