Дан прямоугольный треугольник MNK. Из одной из его вершин построили окружность с радиусом 24 см. Прямая MN- касательно к этой окружности. Определи, какая вершина треугольника является центром окружности, если угол M=90°, MN=18, NK=30

Давайте внимательно разберем задачу и шаг за шагом найдем ответ. **Дано:** - Треугольник MNK является прямоугольным, причём угол M равен 90°. - Из вершины какая-то построена окружность с радиусом 24 см. - Прямая MN является касательной к окружности. - Длины сторон: MN = 18 см, NK = 30 см. - Нужно определить, какая вершина треугольника является центром окружности. --- ### Шаг 1. Построение начальной схемы и ключевые сведения - Поскольку M — вершина прямого угла, то треугольник MNK — прямоугольный, и угол M = 90°. - В треугольнике MNK гипотенуза — это сторона NK (так как она против угла 90°). - Из условия: KN ≈ 30, а MN = 18. Обозначим стороны как: - MN = 18 - MK — допустим, неизвестная, но мы можем найти её, используя теорему Пифагора: \[ NK^2 = MN^2 + MK^2 \] \[ 30^2 = 18^2 + MK^2 \implies 900 = 324 + MK^2 \implies MK^2 = 576 \] \[ MK = \sqrt{576} = 24 \] Итак, известно: - MN = 18 - MK = 24 - NK = 30 --- ### Шаг 2. Расположение треугольника Пусть: - M — вершина прямого угла. - Тогда M — вершина, у которой есть две стороны: M в точке M, а другие вершины — N и K. - Мы можем ориентировать треугольник на плоскости, например, так: - Положим M в точке (0,0). - Пусть N находится на горизонтальной оси, тогда N в (18,0) (так как MN = 18). - Тогда K должно находиться так, чтобы MK = 24 и NK = 30. Для определения координат K: Обозначим: - K(x, y). - Тогда: - Расстояние MK = 24: \[ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 24^2 = 576 \] \[ x^2 + y^2 = 576 \] - Расстояние NK = 30: \[ (x - 18)^2 + y^2 = 900 \] Теперь решим систему: \[ x^2 + y^2 = 576 \quad \text{(1)} \] \[ (x - 18)^2 + y^2 = 900 \quad \text{(2)} \] Вычитая (1) из (2): \[ (x - 18)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 900 - 576 \] \[ x^2 - 36x + 324 + y^2 - x^2 - y^2 = 324 \] \[ -36x + 324 = 324 \] \[ -36x = 0 \] \[ x = 0 \] Подставим x=0 в уравнение (1): \[ 0^2 + y^2 = 576 \implies y^2 = 576 \implies y = \pm 24 \] Значит, координаты K: - \( (0, 24) \) или \( (0, -24) \) Чтобы сохранить ориентацию, выберем \( (0, 24) \). --- ### Шаг 3. Определение центра окружности Окружность с радиусом 24 см, касающаяся стороны MN. В условии: «Из одной из её вершин построили окружность с радиусом 24 см. Прямая MN — касательная к окружности». Это говорит, что: - Окружность касается стороны MN. - Т.к. MN — горизонтальная линия (от (0,0) до (18,0)), а радиус равен 24 и окружность касается этой стороны, то центр окружности должен располагаться так, чтобы расстояние от его центра до прямой MN было равно радиусу (24). --- ### Шаг 4. Варианты положения центра окружности Поскольку MN — горизонтальная прямой (y=0), то: - Центр окружности (O) должен находиться на расстоянии 24 от прямой y=0. - То есть, центр может иметь координаты \( (x_0, 24) \) или \( (x_0, -24) \). Но важно понять, какая вершина треугольника является центром окружности. --- ### Шаг 5. Проверка вариантов - Центр окружности должен находиться внутри треугольника или вне него. - В задаче говорится, что окружность построена из вершины, и касательная — сторона MN, значит, центр окружности, скорее всего, — вершина, чтобы окружность «опиралась» (касалась) стороны MN. Посмотрим, какая вершина: M, N или K: - M — (0,0) - N — (18,0) - K — (0,24) Проверим расстояние от каждой вершины до линии MN: у всех оно равно 0 (они на линии), значит, окружность не может иметь центр в N или M, потому что окружность должна касаться стороны MN, а не совпадать с ней. - Тогда центр окружности — в вершине K (находится в (0,24)). - От K до MN (y=0): \[ |24 - 0| = 24 \] что равно радиусу окружности — 24. Это полностью совпадает с условием: - Радиус окружности — 24 см. - Центр — в вершине K. Окружность, построенная в вершине K, касалась бы стороны MN, что подтверждает, что именно K — центр окружности. --- ### **Ответ:** **Центром окружности, радиусом 24 см, которая касается стороны MN, является вершина K.** --- Если нужен более подробный разбор или есть другие вопросы — обращайтесь!