Реши все это
Конечно! Вот подробные решения всех задач:
А1. Представьте число \(\frac{1}{81}\) в виде степени.
Знаем, что \(81 = 3^4\). Значит:
\[ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} \]
Ответ: 1) \(3^{-4}\)
А2. Найдите значение выражения \(2^{-3} \cdot 2^{8}\).
Когда перемножают степени с одинаковым основанием, степени складываются:
\[ 2^{-3} \cdot 2^{8} = 2^{-3 + 8} = 2^{5} \]
Итак,
\[ 2^{5} = 32 \]
Ответ: 2) 32
А3. Представьте в виде степени \(a^{-3} \cdot a^{7}\).
При умножении степеней с одним основанием складываются показатели:
\[ a^{-3} \cdot a^{7} = a^{-3 + 7} = a^{4} \]
Ответ: 3) \(a^{4}\)
А4. Вычислите
\[ \frac{625^{-3} \cdot 125^{3}}{25^{-2} \cdot (-10)^{4}} \]
Шаг 1. Представим числа в виде степеней с основанием 5:
\[ 625 = 5^4, \quad 125 = 5^3, \quad 25 = 5^2 \]
Тогда:
\[ 625^{-3} = (5^4)^{-3} = 5^{4 \cdot (-3)} = 5^{-12} \] \[ 125^{3} = (5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^{9} \] \[ 25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4} \]
Также:
\[ (-10)^4 = (-(2 \cdot 5))^4 = (-1)^4 \cdot (2^4) \cdot (5^4) = 1 \cdot 16 \cdot 625 = 16 \cdot 625 \]
Рассчитаем числитель:
\[ 5^{-12} \cdot 5^{9} = 5^{-12 + 9} = 5^{-3} \]
Знаменатель:
\[ 5^{-4} \cdot 16 \cdot 625 = 5^{-4} \cdot 16 \cdot 5^{4} = 16 \cdot 5^{-4 + 4} = 16 \cdot 5^{0} = 16 \]
Итак,
\[ \frac{5^{-3}}{16} \]
Перепишем:
\[ \frac{5^{-3}}{16} = \frac{1}{16 \cdot 5^{3}} = \frac{1}{16 \cdot 125} = \frac{1}{2000} \]
Ответ:
4) 2000
А5. Упростите выражение
\[ \frac{(6xy^{-1})^3 \cdot 36x^1}{x^5 y^2} \]
Шаг 1. Возьмем числитель по частям:
\[ (6xy^{-1})^3 = 6^3 \cdot x^3 \cdot y^{-3} = 216 \cdot x^3 \cdot y^{-3} \] \[ 36x = 36 \cdot x \]
Общий числитель:
\[ (216 \cdot x^3 \cdot y^{-3}) \cdot (36 \cdot x) = 216 \cdot 36 \cdot x^{3+1} \cdot y^{-3} = (216 \cdot 36) \cdot x^{4} \cdot y^{-3} \]
Вычислим \(216 \times 36\):
\[ 216 \times 36 = (200 + 16) \times 36 = 200 \times 36 + 16 \times 36 = 7200 + 576 = 7776 \]
Итак, числитель:
\[ 7776 \cdot x^{4} \cdot y^{-3} \]
Знаменатель: \(x^{5} y^{2}\).
Объединим:
\[ \frac{7776 \cdot x^{4} \cdot y^{-3}}{x^{5} y^{2}} = 7776 \cdot x^{4-5} \cdot y^{-3-2} = 7776 \cdot x^{-1} \cdot y^{-5} \]
Обратим отрицательные показатели в знаменатель:
\[ = \frac{7776}{x \cdot y^{5}} \]
Ответ:
Поставьте его как:
\[ \boxed{\frac{7776}{x y^{5}}} \]
Если хотите, могу сделать короткое итоговое резюме!
