Реши все это

Конечно! Вот подробные решения всех задач: --- **А1. Представьте число \(\frac{1}{81}\) в виде степени.** Знаем, что \(81 = 3^4\). Значит: \[ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} \] **Ответ: 1)** \(3^{-4}\) --- **А2. Найдите значение выражения \(2^{-3} \cdot 2^{8}\).** Когда перемножают степени с одинаковым основанием, степени складываются: \[ 2^{-3} \cdot 2^{8} = 2^{-3 + 8} = 2^{5} \] Итак, \[ 2^{5} = 32 \] **Ответ: 2)** 32 --- **А3. Представьте в виде степени \(a^{-3} \cdot a^{7}\).** При умножении степеней с одним основанием складываются показатели: \[ a^{-3} \cdot a^{7} = a^{-3 + 7} = a^{4} \] **Ответ: 3)** \(a^{4}\) --- **А4. Вычислите** \[ \frac{625^{-3} \cdot 125^{3}}{25^{-2} \cdot (-10)^{4}} \] Шаг 1. Представим числа в виде степеней с основанием 5: \[ 625 = 5^4, \quad 125 = 5^3, \quad 25 = 5^2 \] Тогда: \[ 625^{-3} = (5^4)^{-3} = 5^{4 \cdot (-3)} = 5^{-12} \] \[ 125^{3} = (5^3)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^{9} \] \[ 25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4} \] Также: \[ (-10)^4 = (-(2 \cdot 5))^4 = (-1)^4 \cdot (2^4) \cdot (5^4) = 1 \cdot 16 \cdot 625 = 16 \cdot 625 \] Рассчитаем числитель: \[ 5^{-12} \cdot 5^{9} = 5^{-12 + 9} = 5^{-3} \] Знаменатель: \[ 5^{-4} \cdot 16 \cdot 625 = 5^{-4} \cdot 16 \cdot 5^{4} = 16 \cdot 5^{-4 + 4} = 16 \cdot 5^{0} = 16 \] Итак, \[ \frac{5^{-3}}{16} \] Перепишем: \[ \frac{5^{-3}}{16} = \frac{1}{16 \cdot 5^{3}} = \frac{1}{16 \cdot 125} = \frac{1}{2000} \] Ответ: **4)** 2000 --- **А5. Упростите выражение** \[ \frac{(6xy^{-1})^3 \cdot 36x^1}{x^5 y^2} \] Шаг 1. Возьмем числитель по частям: \[ (6xy^{-1})^3 = 6^3 \cdot x^3 \cdot y^{-3} = 216 \cdot x^3 \cdot y^{-3} \] \[ 36x = 36 \cdot x \] Общий числитель: \[ (216 \cdot x^3 \cdot y^{-3}) \cdot (36 \cdot x) = 216 \cdot 36 \cdot x^{3+1} \cdot y^{-3} = (216 \cdot 36) \cdot x^{4} \cdot y^{-3} \] Вычислим \(216 \times 36\): \[ 216 \times 36 = (200 + 16) \times 36 = 200 \times 36 + 16 \times 36 = 7200 + 576 = 7776 \] Итак, числитель: \[ 7776 \cdot x^{4} \cdot y^{-3} \] Знаменатель: \(x^{5} y^{2}\). Объединим: \[ \frac{7776 \cdot x^{4} \cdot y^{-3}}{x^{5} y^{2}} = 7776 \cdot x^{4-5} \cdot y^{-3-2} = 7776 \cdot x^{-1} \cdot y^{-5} \] Обратим отрицательные показатели в знаменатель: \[ = \frac{7776}{x \cdot y^{5}} \] Ответ: **Поставьте его как:** \[ \boxed{\frac{7776}{x y^{5}}} \] --- Если хотите, могу сделать короткое итоговое резюме!