В параллелограмме ABCD на сторонах BC и CD отметили точки M и N — середины сторон BC и CD соответственно. Найдите площадь параллелограмма ABCD, зная, что AC ⊥ BD, MN = 18 см, AC =…

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять все её аспекты и найти площадь параллелограмма ABCD.

Дано:

• В параллелограмме ABCD:
  • Метки точек:
    • M — середина стороны BC
    • N — середина стороны CD
  • Известные данные:
    • MN = 18 см
    • AC = 48 см
  • Особенность:
    • AC ⟂ BD (диагонали перпендикулярны)

---

Шаг 1. Вводные и обозначения

Обозначим:

• \(A, B, C, D\) — вершины параллелограмма.
• \(M\) — середина \(BC\), значит: \[ M = \frac{B + C}{2} \]
• \(N\) — середина \(CD\): \[ N = \frac{C + D}{2} \]

Диагонали \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны: \[ AC \perp BD \]

---

Шаг 2. Ввод координат

Для удобства выберем систему координат:

• Пусть \(A\) — в начале: \[ A = (0,0) \]
• Вариант: \(B = (b,0)\), тогда стороны \(AB\) и \(AD\) — это векторы, и их параметры определятся далее.

Обозначим:

• \(A = (0,0)\)
• \(B = (b,0)\), где \(b\) — длина основания или сторона у вершины \(A\).
• \(D = (x_d, y_d)\) (еще не известны)
• \(C = (b + c_x, c_y)\), потому что \(C\) — вершина, расположенная после \(B\), и по условию параллелограмма.

---

Шаг 3. Условия параллелограмма

• Вектор стороны \(AB\): \(\vec{AB} = (b, 0)\)
• Вектор стороны \(AD\): \(\vec{AD} = (x_d, y_d)\)
• Вектор стороны \(BC\): \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (c_x, c_y)\)
• Вектор стороны \(DC\): \(\vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (b + c_x - x_d, c_y - y_d)\)

Так как стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны, а \(AD\) и \(BC\) — тоже: \[ \vec{DC} \parallel \vec{AB} \quad \Rightarrow \quad (b + c_x - x_d, c_y - y_d) \parallel (b,0) \] Это значит, что векторы пропорциональны: \[ \frac{b + c_x - x_d}{b} = \frac{c_y - y_d}{0} \] Последнее невозможно, если \(c_y - y_d \neq 0\). Поэтому, чтобы избежать противоречия, сделаем более глобальный подход.

---

Шаг 4. Использование свойства перпендикулярности диагоналей

Ключевая информация — \(AC \perp BD\).

• \(AC = \vec{AC} = C - A = (b + c_x, c_y)\)
• \(BD = \vec{BD} = D - B = (x_d - b, y_d)\)

Условие перпендикулярности: \[ \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0 \] То есть: \[ (b + c_x)(x_d - b) + c_y y_d = 0 \]

---

Шаг 5. Используем середины \(M\) и \(N\)

• \(M = \frac{B + C}{2} = \left(\frac{b + (b + c_x)}{2}, \frac{0 + c_y}{2}\right) = \left(\frac{2b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right)\)

• \(N = \frac{C + D}{2} = \left(\frac{b + c_x + x_d}{2}, \frac{c_y + y_d}{2}\right)\)

Далее, по условию, \(MN = 18\) см.

Координаты: \[ MN = \sqrt{\left(\frac{2b + c_x}{2} - \frac{b + c_x + x_d}{2}\right)^2 + \left(\frac{c_y}{2} - \frac{c_y + y_d}{2}\right)^2} \]

Рассчитаем разности:

• по \(x\): \[ \frac{2b + c_x - (b + c_x + x_d)}{2} = \frac{2b + c_x - b - c_x - x_d}{2} = \frac{b - x_d}{2} \]

• по \(y\): \[ \frac{c_y - c_y - y_d}{2} = - \frac{y_d}{2} \]

Следовательно: \[ MN = \sqrt{\left(\frac{b - x_d}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_d}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(b - x_d)^2 + y_d^2} \]

Значит: \[ 18 = \frac{1}{2} \sqrt{(b - x_d)^2 + y_d^2} \] \[ \sqrt{(b - x_d)^2 + y_d^2} = 36 \]

---

Шаг 6. Анализ уравнения

Обозначим: \[ (b - x_d)^2 + y_d^2 = 1296 \]

Это уравнение для точек \((x_d, y_d)\), связанных с параметром \(b\).

---

Шаг 7. Связь с длиной \(AC = 48\)

Дано: \[ AC = 48 \] Что означает: \[ |AC|^2 = (b + c_x)^2 + c_y^2 = 48^2 = 2304 \] Или: \[ (b + c_x)^2 + c_y^2 = 2304 \]

---

Шаг 8. Перепишем всё через \(c_x, c_y, x_d, y_d, b\)

Чтобы упростить, заметим, что для параллелограмма:

• Вектор \(\vec{AB} = (b,0)\)
• \(D = A + \vec{D}\), а \(D = (x_d, y_d)\)
• Вектор \(C = (b + c_x, c_y)\)

Поскольку \(A = (0,0)\), стороны:

• \(AB = (b, 0)\)
• \(AD = (x_d, y_d)\)

Параллелограмм: \[ D = A + \vec{AD} = (x_d, y_d) \] \[ C = B + \vec{DC} = (b + c_x, c_y) \] А также: \[ \text{Параллелограмм свойства: } \vec{AB} \parallel \vec{DC} \] и \[ \vec{AD} \parallel \vec{BC} \]

Можем сделать вывод, что стороны \(AB\) и \(DC\) параллельны, а также \(AD\) и \(BC\):

\[ \vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} = (b + c_x - x_d, c_y - y_d) \] \[ \vec{AB} = (b, 0) \]

Параллельность: \[ \vec{DC} = \lambda \cdot \vec{AB} \Rightarrow (b + c_x - x_d, c_y - y_d) = \lambda (b, 0) \] Отсюда: \[ c_y - y_d = 0 \Rightarrow c_y = y_d \] и \[ b + c_x - x_d = \lambda b \]

Далее из уравнения: \[ (b + c_x)^2 + c_y^2 = 2304 \]

Так как \(c_y = y_d\), то \(c_y\) выражается через \(y_d\).

---

Итоговые шаги: нахождение площади

Площадь параллелограмма \(S = |\vec{AB} \times \vec{AD}|\): \[ S = |(b, 0) \times (x_d, y_d)| = |b y_d - 0 \cdot x_d| = |b y_d| \]

Наша задача — найти \(b y_d\).

Из предыдущих уравнений:

• \(c_y = y_d\)
• И из уравнения для \(AC\): \[ (b + c_x)^2 + c_y^2 = 2304 \] подставим \(c_y = y_d\): \[ (b + c_x)^2 + y_d^2 = 2304 \]

А из параллельности \(DC\) (с учётом что \(c_y = y_d\)): \[ b + c_x - x_d = \lambda b \]

Тогда: \[ x_d = b + c_x - \lambda b \] и, из уравнения \(MN = 18\): \[ (b - x_d)^2 + y_d^2 = 1296 \] подставим \(x_d\): \[ (b - (b + c_x - \lambda b))^2 + y_d^2 = 1296 \] \[ (- c_x + \lambda b)^2 + y_d^2 = 1296 \]

Также из уравнения \(AC\), выразим \(c_x\): \[ b + c_x = \pm \sqrt{2304 - y_d^2} \]

Совместив уравнения, видим, что задача получается сложной для аналитического решения, поэтому можно сделать важное замечание:

Важное наблюдение:

• \(\vec{AC} \perp \vec{BD}\) — диагонали перпендикулярны.
• В параллелограмме, если диагонали перпенльны, то это ромб.

Поскольку \(\vec{AC} \perp \vec{BD}\), и \(AC\) и \(BD\) — диагонали, то:

\[ \boxed{ \text{Параллелограмм — ромб} } \]

Площадь ромба равна:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{произведение диагоналей} \]

Дано:

• \(AC = 48\,\text{см}\)
• \(BD\): нужно определить

Но по условию, в ромбе — диагонали перпендикулярны, длины диагоналей \(AC\) и \(BD\).
Из условия, мы знаем \(AC = 48\,\text{см}\), и нужно найти \(BD\).

---

Шаг 9. Определение \(BD\)

Из гипотезы, что параллелограмм — ромб, и что \(MN = 18\) см, а \(AC = 48\) см, то:

• Диагональ \(AC =48\)
• Диагональ \(BD\) — неизвестна, но связана с \(MN\).

Для ромба, диагонали пересекаются в центре, и точка пересечения делит диагонали пополам.

Рассмотрим, что \(M\) — середина \(BC\), \(N\) — середина \(DC\), и \(MN\) — средняя линия, которая в ромбе параллельна диагоналям и ровна половине \(BD\).

Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон, линия \(MN\) — середина отрезка между серединами сторон, в ромбе оно равно половине диагонали \(BD\):

\[ MN = \frac{BD}{2} \] отсюда: \[ BD = 2 \times MN = 2 \times 18 = 36\,\text{см} \]

---

Ответ:

Площадь ромба (параллелограмма с перпендикулярными диагоналями):

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 48 \times 36 \] \[ S = \frac{1}{2} \times 1728 = 864\, \text{см}^2 \]

---

Итог:

Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(\boxed{864\,\text{см}^2}\).