Давайте подробно решим задачу по шагам, чтобы было понятно, как найти искомое отношение масс и новую температуру.
Дано:
- Изначальная температура чая: ( T_ч = 100^\circ C )
- Температура воды, добавленной сначала: ( T_{в1} = 25^\circ C )
- Итоговая температура после первого добавления: ( T_f = 75^\circ C )
- Удельные теплоёмкости чая и воды: ( c = 4200, Дж/(кг \cdot ^\circ C) )
- Потери тепла пренебрегаются.
Шаг 1: Обозначим переменные
- Масса чая: ( m_ч )
- Масса воды, добавленной сначала: ( m_{в1} )
Шаг 2: Отношение количества теплоты
Поскольку потерями пренебречь, сумма теплот, полученных и отданных всеми веществами, равна нулю:
[
Q_{чая} + Q_{воды} = 0
]
Теплота, отданная чаем (он остывает):
[
Q_{чая} = m_ч c (T_{ч} - T_f)
]
Теплота, полученная холодной водой:
[
Q_{воды} = m_{в1} c (T_f - T_{в1})
]
Условие равновесия теплов: теплота, отданная чаем, равна теплоте, полученной водой (отрицательное значение, поскольку тепло уходит из чая и поступает воде):
[
m_ч c (T_{ч} - T_f) = m_{в1} c (T_f - T_{в1})
]
На ( c ) сокращается:
[
m_ч (T_{ч} - T_f) = m_{в1} (T_f - T_{в1})
]
Шаг 3: Находим отношение ( m_ч / m_{в1} )
Подставим значения:
[
m_ч (100 - 75) = m_{в1} (75 - 25)
]
[
m_ч \times 25 = m_{в1} \times 50
]
Делим обе части на 25:
[
m_ч = 2 m_{в1}
]
Итак, отношение масс:
[
\boxed{
\frac{m_ч}{m_{в1}} = 2
}
]
Это ответ на первый вопрос: отношение массы чая к массе добавленной воды — 2:1.
Шаг 4: Добавление ещё одной порции холодной воды
Теперь в чай добавляют ещё одну такую же порцию холодной воды ( m_{в2} = m_{в1} ).
Обозначим:
- Масса воды, добавленная второй раз: ( m_{в2} = m_{в1} )
Общая масса воды после второго добавления:
[
m_{в\text{общ}} = m_{в1} + m_{в2} = 2 m_{в1}
]
Новая сумма теплот, учитывая, что снова пренебрегаем потерями.
Шаг 5: Новая температура ( T_{нов} )
При новом равновесии:
[
Q_{чая} + Q_{воды} = 0
]
Где:
[
Q_{чая} = m_ч c (T_{ч} - T_{нов})
]
[
Q_{воды} = (m_{в1} + m_{в1}) c (T_{нов} - T_{в1})
]
Подставляем:
[
m_ч c (100 - T_{нов}) = 2 m_{в1} c (T_{нов} - 25)
]
Сокращение на ( c ):
[
m_ч (100 - T_{нов}) = 2 m_{в1} (T_{нов} - 25)
]
Заменим ( m_ч = 2 m_{в1} ), что выведено из предыдущего шага:
[
2 m_{в1} (100 - T_{нов}) = 2 m_{в1} (T_{нов} - 25)
]
Можно сократить на ( 2 m_{в1} ):
[
100 - T_{нов} = T_{нов} - 25
]
Решаем:
[
100 + 25 = T_{нов} + T_{нов}
]
[
125 = 2 T_{нов}
]
[
T_{нов} = \frac{125}{2} = 62.5^\circ C
]
Ответ:
- Отношение массы чая к массе добавленной воды: (\boxed{2}).
- Температура чая после второго добавления воды: (\boxed{62.5^\circ C}).
Если есть еще вопросы или нужно объяснение более подробно, не стесняйтесь спрашивать!
