для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Катя добавила и нега дию холодной воды с температурой 25 °С. После установления теплового равновесия пература воды…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Катя добавила и нега дию холодной воды с температурой 25 °С. После установления теплового равновесия пература воды в чашке составила 75 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковна вны с 4200 Дж/(кг °С). Потерями теплоты можно пренебречь. ему равно отношение количества теплоты, отданного чаем, к количеству теплоты, -ченному водой. айдите отношение массы чая к массе долитой воды. ак как чай всё ещё был слишком горячим, Катя добавила в него ещё одну точно такую же цию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового овесия? шите полное решение этой задачи.
Давайте подробно решим задачу по шагам, чтобы было понятно, как найти искомое отношение масс и новую температуру.
Дано:
- Изначальная температура чая: \( T_ч = 100^\circ C \)
- Температура воды, добавленной сначала: \( T_{в1} = 25^\circ C \)
- Итоговая температура после первого добавления: \( T_f = 75^\circ C \)
- Удельные теплоёмкости чая и воды: \( c = 4200\, Дж/(кг \cdot ^\circ C) \)
- Потери тепла пренебрегаются.
Шаг 1: Обозначим переменные
- Масса чая: \( m_ч \)
- Масса воды, добавленной сначала: \( m_{в1} \)
Шаг 2: Отношение количества теплоты
Поскольку потерями пренебречь, сумма теплот, полученных и отданных всеми веществами, равна нулю:
\[ Q_{чая} + Q_{воды} = 0 \]
Теплота, отданная чаем (он остывает):
\[ Q_{чая} = m_ч c (T_{ч} - T_f) \]
Теплота, полученная холодной водой:
\[ Q_{воды} = m_{в1} c (T_f - T_{в1}) \]
Условие равновесия теплов: теплота, отданная чаем, равна теплоте, полученной водой (отрицательное значение, поскольку тепло уходит из чая и поступает воде):
\[ m_ч c (T_{ч} - T_f) = m_{в1} c (T_f - T_{в1}) \]
На \( c \) сокращается:
\[ m_ч (T_{ч} - T_f) = m_{в1} (T_f - T_{в1}) \]
Шаг 3: Находим отношение \( m_ч / m_{в1} \)
Подставим значения:
\[ m_ч (100 - 75) = m_{в1} (75 - 25) \] \[ m_ч \times 25 = m_{в1} \times 50 \]
Делим обе части на 25:
\[ m_ч = 2 m_{в1} \]
Итак, отношение масс:
\[ \boxed{ \frac{m_ч}{m_{в1}} = 2 } \]
Это ответ на первый вопрос: отношение массы чая к массе добавленной воды — 2:1.
Шаг 4: Добавление ещё одной порции холодной воды
Теперь в чай добавляют ещё одну такую же порцию холодной воды \( m_{в2} = m_{в1} \).
Обозначим:
- Масса воды, добавленная второй раз: \( m_{в2} = m_{в1} \)
Общая масса воды после второго добавления:
\[ m_{в\text{общ}} = m_{в1} + m_{в2} = 2 m_{в1} \]
Новая сумма теплот, учитывая, что снова пренебрегаем потерями.
Шаг 5: Новая температура \( T_{нов} \)
При новом равновесии:
\[ Q_{чая} + Q_{воды} = 0 \]
Где:
\[ Q_{чая} = m_ч c (T_{ч} - T_{нов}) \] \[ Q_{воды} = (m_{в1} + m_{в1}) c (T_{нов} - T_{в1}) \]
Подставляем:
\[ m_ч c (100 - T_{нов}) = 2 m_{в1} c (T_{нов} - 25) \]
Сокращение на \( c \):
\[ m_ч (100 - T_{нов}) = 2 m_{в1} (T_{нов} - 25) \]
Заменим \( m_ч = 2 m_{в1} \), что выведено из предыдущего шага:
\[ 2 m_{в1} (100 - T_{нов}) = 2 m_{в1} (T_{нов} - 25) \]
Можно сократить на \( 2 m_{в1} \):
\[ 100 - T_{нов} = T_{нов} - 25 \]
Решаем:
\[ 100 + 25 = T_{нов} + T_{нов} \] \[ 125 = 2 T_{нов} \]
\[ T_{нов} = \frac{125}{2} = 62.5^\circ C \]
Ответ:
- Отношение массы чая к массе добавленной воды: \(\boxed{2}\).
- Температура чая после второго добавления воды: \(\boxed{62.5^\circ C}\).
Если есть еще вопросы или нужно объяснение более подробно, не стесняйтесь спрашивать!
