Давайте решим задачу шаг за шагом и подробно объясним все этапы.
Дано:
- Площадь боковой поверхности цилиндра ( S_b = 64\pi )
- Высота цилиндра ( h = 8 ) м
Требуется найти:
- Диаметр основания ( d )
- Полную поверхность цилиндра ( S_{общ} )
Шаг 1: Напомню формулы для цилиндра
Площадь боковой поверхности:
[
S_b = 2 \pi r h
]
где ( r ) — радиус основания.
Площадь полного поверхности:
[
S_{общ} = S_b + S_{осн} \quad \text{(боковая площадь + площадь двух оснований)}
]
Площадь одного основания:
[
S_{осн} = \pi r^2
]
Тогда
[
S_{общ} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2
]
Шаг 2: Найдём радиус основания ( r )
Из известной площади боковой поверхности:
[
S_b = 2 \pi r h
]
Подставим известные значения:
[
64 \pi = 2 \pi r \times 8
]
Решим относительно ( r ):
[
64 \pi = 16 \pi r
]
Поделим обе части на ( 16 \pi ):
[
r = \frac{64 \pi}{16 \pi} = 4
]
Радиус основания ( r = 4 ) м.
Шаг 3: Найдём диаметр основания ( d )
Диаметр — это удвоенный радиус:
[
d = 2 r = 2 \times 4 = 8 \text{ м}
]
Шаг 4: Найдём полную площадь поверхности ( S_{общ} )
Подставим найденный радиус и высоту в формулу полной площади:
[
S_{общ} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2
]
Подставим значения:
[
S_{общ} = 2 \pi \times 4 \times 8 + 2 \pi \times 4^2
]
Вычислим каждую часть:
- Боковая часть:
[
2 \pi \times 4 \times 8 = 2 \pi \times 32 = 64 \pi
]
- Основания:
[
2 \pi \times 16 = 32 \pi
]
Итого:
[
S_{общ} = 64 \pi + 32 \pi = 96 \pi
]
Ответ:
- Диаметр основания: ( \boxed{8 \text{ м}} )
- Полная площадь поверхности: ( \boxed{96 \pi \text{ м}^2} )
Если нужно, можно оставить ответ в виде чисел (приблизительно):
[
96 \pi \approx 96 \times 3.14 \approx 301.44 \text{ м}^2
]
