1. Напишите уравнение окружности с центром в точке O(3;-3) и диаметром 8v2 см. 2 вариант 2. На координатной плоскости отмечены точки А и D. Найдите координаты середины отрезка AD,…

Давайте разберем каждую задачу по порядку, чтобы помочь вам понять решение.

---

1. Напишите уравнение окружности с центром в точке O(3, -3) и диаметром 8√2 см

Шаги решения:

• Центр окружности (O): (x₀, y₀) = (3, -3)

• Диаметр (d): 8√2 см

• Радиус (r): половина диаметра
  \[ r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \]

• Общее уравнение окружности:
  \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \]

• Подставляем значения:
  \[ (x - 3)^2 + (y + 3)^2 = (4\sqrt{2})^2 \]

• Вычисляем \( r^2 \):
  \[ (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32 \]

Итак, уравнение окружности:
\[ \boxed{(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 32} \]

---

2. На координатной плоскости отмечены точки А и D. Найдите координаты середины отрезка AD

Инструкции:

• Пусть \(A(x_1, y_1)\) и \(D(x_2, y_2)\) — координаты известных точек (их нужно знать или они даны в условии).
• Координаты середины отрезка M:
  \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

Если конкретные координаты точек не заданы, то просто применяйте формулу. Допустим, точки \(A( x_1, y_1)\) и \(D(x_2, y_2)\) — ваши данные.

---

3. Точки A(1,1), C(7,-5), D(-2,5) и В — вершины параллелограмма. Найдите координаты В

Объяснение:

• В параллелограмме Стороны параллельны и равны, а диагонали пересекаются в серединах.

• Вектор \( \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \).

• Для нахождения \( В \), используем свойство:
  \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 0 \] или, что проще:
  \[ \text{Координаты } V: \quad \text{V} = \text{A} + \text{C} - \text{D} \]

• Подставляем:
  \[ V_x = x_A + x_C - x_D = 1 + 7 - (-2) = 1 + 7 + 2 = 10 \] \[ V_y = y_A + y_C - y_D = 1 + (-5) - 5 = 1 - 5 - 5 = -9 \]

Ответ:
\[ V(10, -9) \]

---

4. Отрезок АВ, с координатами А(3, -3) и В(-4, 2), разделен точками С и К на три равные части, считая от В. Найдите координаты этих точек.

Объяснение:

• Важно понять, что точки C и K делят отрезок АВ на три равные части, считая от В, то есть, начиная с В и двигаясь к А.

• Вектор \(\overrightarrow{AB}\):
  \[ \Delta x = x_A - x_B = 3 - (-4) = 7 \] \[ \Delta y = y_A - y_B = -3 - 2 = -5 \]

• Точки C и K — это точки, делящие отрезок на три равные части, которые расположены по вектору \(\overrightarrow{AB}\):

  \[ \text{Координаты C}: \quad x_c = x_B + \frac{1}{3} \times \Delta x = -4 + \frac{1}{3} \times 7 = -4 + \frac{7}{3} = -4 + 2.\overline{3} \approx -1.\overline{66} \]

  \[ y_c = y_B + \frac{1}{3} \times \Delta y = 2 + \frac{1}{3} \times (-5) = 2 - \frac{5}{3} = 2 - 1.\overline{66} \approx 0.\overline{33} \]

• Аналогично, для точки K (следующая точка):
  \[ x_k = x_B + \frac{2}{3} \times \Delta x = -4 + 2 \times \frac{7}{3} = -4 + \frac{14}{3} = -4 + 4.\overline{66} \approx 0.\overline{66} \]

  \[ y_k = y_B + \frac{2}{3} \times \Delta y = 2 + 2 \times \frac{-5}{3} = 2 - \frac{10}{3} = 2 - 3.\overline{33} \approx -1.\overline{33} \]

Итог:

• \( C \approx (-1.67, 0.33) \)
• \( K \approx (0.67, -1.33) \)

---

5. Точки: A(-2,3), B(1,-3), C(4,-2)

A) Найдите координаты D(x, y), если \(AB = CD\)

Шаги:

• Длина отрезка \(AB\):

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

• Даная длина \(AB\) равна длине \(CD\).
• Для поиска D(x, y), нам нужно выбрать такую точку, чтобы длина \(CD\) равнялась 3√5.
• Но, поскольку без дополнительных условий, D может быть в любой точке, где \(C\) и D лежат на окружности с центром в C и радиусом \(AB\), то есть:

\[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45 \]

Итог:
При этом D может иметь любые координаты, удовлетворяющие этому уравнению.

---

B) Найдите периметр трапеции ABCD

Значения уже есть:

• \(AB = 3\sqrt{5}\).

Для полного периметра необходимо знать остальные стороны. Но если предположить, что ABCD — это трапеция, и другие стороны — это отрезки между заданными точками, то вычисляем их по формуле расстояния.

---

6. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки A(1,3) и C(2,1)

Шаги:

• Сначала найдите наклон (коэффициент углового наклона):
  \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2 \]
• Уравнение прямой в общем виде (через точку A):
  \[ y - y_1 = k(x - x_1) \] \[ y - 3 = -2(x - 1) \] \[ y - 3 = -2x + 2 \] \[ y = -2x + 2 + 3 = -2x + 5 \]

Ответ:
\[ \boxed{y = -2x + 5} \]

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное решение — скажите!