1. Напишите уравнение окружности с центром в точке O(3;-3) и диаметром 8v2 см.
2 вариант
2. На координатной плоскости отмечены точки А и D. Найдите координаты середины отрезка AD, если
3. Точки A(1:1), C(7;-5), D(-2;5) и В являются вершинами параллелограмма. Найдите координаты точки В.
4. Отрезок АВ, с координатами А(3;-3) и В(-4;2), разделен точками С и К, на три равные части, считая от точки В. Найдите координаты этих точек.
5. Даны точки А(-2;3), В(1;-3) и С(4;-2).
A) найдите координаты точки D(x;у), если AB = CD
B) найдите периметр ДАВС
6. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки A(1;3) и С(2;1).
Давайте разберем каждую задачу по порядку, чтобы помочь вам понять решение.
---
### 1. Напишите уравнение окружности с центром в точке O(3, -3) и диаметром 8√2 см
**Шаги решения:**
- **Центр окружности (O):** (x₀, y₀) = (3, -3)
- **Диаметр (d):** 8√2 см
- **Радиус (r):** половина диаметра
\[
r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}
\]
- **Общее уравнение окружности:**
\[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
\]
- Подставляем значения:
\[
(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = (4\sqrt{2})^2
\]
- Вычисляем \( r^2 \):
\[
(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \times 2 = 16 \times 2 = 32
\]
**Итак, уравнение окружности:**
\[
\boxed{(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 32}
\]
---
### 2. На координатной плоскости отмечены точки А и D. Найдите координаты середины отрезка AD
**Инструкции:**
- Пусть \(A(x_1, y_1)\) и \(D(x_2, y_2)\) — координаты известных точек (их нужно знать или они даны в условии).
- **Координаты середины отрезка M:**
\[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
\]
Если конкретные координаты точек не заданы, то просто применяйте формулу. Допустим, точки \(A( x_1, y_1)\) и \(D(x_2, y_2)\) — ваши данные.
---
### 3. Точки A(1,1), C(7,-5), D(-2,5) и В — вершины параллелограмма. Найдите координаты В
**Объяснение:**
- В параллелограмме Стороны параллельны и равны, а диагонали пересекаются в серединах.
- Вектор \( \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \).
- Для нахождения \( В \), используем свойство:
\[
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = 0
\]
или, что проще:
\[
\text{Координаты } V: \quad \text{V} = \text{A} + \text{C} - \text{D}
\]
- Подставляем:
\[
V_x = x_A + x_C - x_D = 1 + 7 - (-2) = 1 + 7 + 2 = 10
\]
\[
V_y = y_A + y_C - y_D = 1 + (-5) - 5 = 1 - 5 - 5 = -9
\]
**Ответ:**
\[
V(10, -9)
\]
---
### 4. Отрезок АВ, с координатами А(3, -3) и В(-4, 2), разделен точками С и К на три равные части, считая от В. Найдите координаты этих точек.
**Объяснение:**
- Важно понять, что точки C и K делят отрезок АВ на три равные части, считая от В, то есть, начиная с В и двигаясь к А.
- Вектор \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\Delta x = x_A - x_B = 3 - (-4) = 7
\]
\[
\Delta y = y_A - y_B = -3 - 2 = -5
\]
- Точки C и K — это точки, делящие отрезок на три равные части, которые расположены по вектору \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\text{Координаты C}: \quad x_c = x_B + \frac{1}{3} \times \Delta x = -4 + \frac{1}{3} \times 7 = -4 + \frac{7}{3} = -4 + 2.\overline{3} \approx -1.\overline{66}
\]
\[
y_c = y_B + \frac{1}{3} \times \Delta y = 2 + \frac{1}{3} \times (-5) = 2 - \frac{5}{3} = 2 - 1.\overline{66} \approx 0.\overline{33}
\]
- Аналогично, для точки K (следующая точка):
\[
x_k = x_B + \frac{2}{3} \times \Delta x = -4 + 2 \times \frac{7}{3} = -4 + \frac{14}{3} = -4 + 4.\overline{66} \approx 0.\overline{66}
\]
\[
y_k = y_B + \frac{2}{3} \times \Delta y = 2 + 2 \times \frac{-5}{3} = 2 - \frac{10}{3} = 2 - 3.\overline{33} \approx -1.\overline{33}
\]
**Итог:**
- \( C \approx (-1.67, 0.33) \)
- \( K \approx (0.67, -1.33) \)
---
### 5. Точки: A(-2,3), B(1,-3), C(4,-2)
#### A) Найдите координаты D(x, y), если \(AB = CD\)
**Шаги:**
- Длина отрезка \(AB\):
\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
\]
- Даная длина \(AB\) равна длине \(CD\).
- Для поиска D(x, y), нам нужно выбрать такую точку, чтобы длина \(CD\) равнялась 3√5.
- Но, поскольку без дополнительных условий, D может быть в любой точке, где \(C\) и D лежат на окружности с центром в C и радиусом \(AB\), то есть:
\[
(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45
\]
**Итог:**
При этом D может иметь любые координаты, удовлетворяющие этому уравнению.
---
#### B) Найдите периметр трапеции ABCD
Значения уже есть:
- \(AB = 3\sqrt{5}\).
Для полного периметра необходимо знать остальные стороны. Но если предположить, что ABCD — это трапеция, и другие стороны — это отрезки между заданными точками, то вычисляем их по формуле расстояния.
---
### 6. Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точки A(1,3) и C(2,1)
**Шаги:**
- Сначала найдите наклон (коэффициент углового наклона):
\[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2
\]
- Уравнение прямой в общем виде (через точку A):
\[
y - y_1 = k(x - x_1)
\]
\[
y - 3 = -2(x - 1)
\]
\[
y - 3 = -2x + 2
\]
\[
y = -2x + 2 + 3 = -2x + 5
\]
**Ответ:**
\[
\boxed{y = -2x + 5}
\]
---
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное решение — скажите!
