Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а против течения - 3 км, затратив на весь путь 45 мия. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Давайте подробно решим задачу по шагам. **Дано:** - Расстояния: - По течению: 8 км - Против течения: 3 км - Общее время: 45 минут = 45/60 = 0,75 часа - Скорость течения: \( v_{тек} = 2 \) км/ч - Обозначим: - \( v_{лефты} \) — собственная скорость лодки (то, что нужно найти) - \( v_{по течению} = v_{лефты} + v_{тек} \) - \( v_{против течения} = v_{лефты} - v_{тек} \) **Шаг 1: Запишем выражения для времени прохождения каждого участка** Время для прохождения по течению: \[ t_по = \frac{S_по}{v_{по течению}} = \frac{8}{v_{лефты} + 2} \] Время для прохождения против течения: \[ t_против = \frac{S_против} {v_{против течения}} = \frac{3}{v_{лефты} - 2} \] Общее время: \[ t_общ = t_по + t_против = 0,75 \text{ ч} \] Подставим: \[ \frac{8}{v_{лефты} + 2} + \frac{3}{v_{лефты} - 2} = 0,75 \] **Шаг 2: Решим полученное уравнение** Обозначим \( v = v_{лефты} \). Тогда: \[ \frac{8}{v + 2} + \frac{3}{v - 2} = 0,75 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{8(v - 2) + 3(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 0,75 \] Раскроем числитель: \[ 8v - 16 + 3v + 6 = (8v + 3v) + (-16 + 6) = 11v - 10 \] Обратим внимание, что знаменатель: \[ (v + 2)(v - 2) = v^2 - 4 \] Запишем уравнение полностью: \[ \frac{11v - 10}{v^2 - 4} = 0,75 \] Перемножим обе части на знаменатель: \[ 11v - 10 = 0,75 (v^2 - 4) \] Раскроем скобки: \[ 11v - 10 = 0,75 v^2 - 3 \] Перенесем все в одну сторону: \[ 0,75 v^2 - 11v + ( -3 + 10) = 0 \] Объединим свободный член: \[ 0,75 v^2 - 11v + 7 = 0 \] Чтобы избавиться от дроби, умножим всю формулу на 100: \[ 75 v^2 - 1100 v + 700 = 0 \] Решим это квадратичное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-1100)^2 - 4 \times 75 \times 700 \] Вычислим: \[ D = 1,210,000 - 4 \times 75 \times 700 \] \[ 4 \times 75 = 300 \] \[ 300 \times 700 = 210,000 \] \[ D = 1,210,000 - 210,000 = 1,000,000 \] Так как дискриминант: \[ \sqrt{D} = \sqrt{1,000,000} = 1000 \] Найдем корни по формуле: \[ v = \frac{1100 \pm 1000}{2 \times 75} = \frac{1100 \pm 1000}{150} \] Варианты: 1. \( v = \frac{1100 + 1000}{150} = \frac{2100}{150} = 14 \) 2. \( v = \frac{1100 - 1000}{150} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \approx 0.666 \) **Шаг 3: Проверка полученных решений** - \( v = 14 \) км/ч — это разумная скорость для лодки, собственная скорость, и скоростной режим по условию. - \( v \approx 0,666 \) км/ч — слишком мало; лодка не сможет пройти 8 км против течения за такой короткий промежуток, учитывая скорость течения, поэтому этот вариант не подходит. **Ответ:** **Собственная скорость лодки равна 14 км/ч.**