Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а против течения - 3 км, затратив на весь путь 45 мия. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Давайте подробно решим задачу по шагам.

Дано:

• Расстояния:
  • По течению: 8 км
  • Против течения: 3 км
• Общее время: 45 минут = 45/60 = 0,75 часа
• Скорость течения: \( v_{тек} = 2 \) км/ч
• Обозначим:
  • \( v_{лефты} \) — собственная скорость лодки (то, что нужно найти)
  • \( v_{по течению} = v_{лефты} + v_{тек} \)
  • \( v_{против течения} = v_{лефты} - v_{тек} \)

Шаг 1: Запишем выражения для времени прохождения каждого участка

Время для прохождения по течению: \[ t_по = \frac{S_по}{v_{по течению}} = \frac{8}{v_{лефты} + 2} \]

Время для прохождения против течения: \[ t_против = \frac{S_против} {v_{против течения}} = \frac{3}{v_{лефты} - 2} \]

Общее время: \[ t_общ = t_по + t_против = 0,75 \text{ ч} \]

Подставим: \[ \frac{8}{v_{лефты} + 2} + \frac{3}{v_{лефты} - 2} = 0,75 \]

Шаг 2: Решим полученное уравнение

Обозначим \( v = v_{лефты} \).

Тогда: \[ \frac{8}{v + 2} + \frac{3}{v - 2} = 0,75 \]

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{8(v - 2) + 3(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 0,75 \]

Раскроем числитель: \[ 8v - 16 + 3v + 6 = (8v + 3v) + (-16 + 6) = 11v - 10 \]

Обратим внимание, что знаменатель: \[ (v + 2)(v - 2) = v^2 - 4 \]

Запишем уравнение полностью: \[ \frac{11v - 10}{v^2 - 4} = 0,75 \]

Перемножим обе части на знаменатель: \[ 11v - 10 = 0,75 (v^2 - 4) \]

Раскроем скобки: \[ 11v - 10 = 0,75 v^2 - 3 \]

Перенесем все в одну сторону: \[ 0,75 v^2 - 11v + ( -3 + 10) = 0 \]

Объединим свободный член: \[ 0,75 v^2 - 11v + 7 = 0 \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим всю формулу на 100: \[ 75 v^2 - 1100 v + 700 = 0 \]

Решим это квадратичное уравнение:

Дискриминант: \[ D = (-1100)^2 - 4 \times 75 \times 700 \]

Вычислим: \[ D = 1,210,000 - 4 \times 75 \times 700 \] \[ 4 \times 75 = 300 \] \[ 300 \times 700 = 210,000 \] \[ D = 1,210,000 - 210,000 = 1,000,000 \]

Так как дискриминант: \[ \sqrt{D} = \sqrt{1,000,000} = 1000 \]

Найдем корни по формуле: \[ v = \frac{1100 \pm 1000}{2 \times 75} = \frac{1100 \pm 1000}{150} \]

Варианты:

1. \( v = \frac{1100 + 1000}{150} = \frac{2100}{150} = 14 \)
2. \( v = \frac{1100 - 1000}{150} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \approx 0.666 \)

Шаг 3: Проверка полученных решений

• \( v = 14 \) км/ч — это разумная скорость для лодки, собственная скорость, и скоростной режим по условию.
• \( v \approx 0,666 \) км/ч — слишком мало; лодка не сможет пройти 8 км против течения за такой короткий промежуток, учитывая скорость течения, поэтому этот вариант не подходит.

Ответ:

Собственная скорость лодки равна 14 км/ч.