Найдите наименьшее натуральное число Х, для которого истинно высказывание: (НЕ (X > 6) И (Х ≤ 13)) ИЛИ (X ≥ 3).
Давайте разберём задачу по шагам. Нам нужно найти минимальное натуральное число Х, удовлетворяющее условию:
\[ \left(\neg (X > 6) \land (X \leq 13)\right) \lor (X \geq 3) \]
где \(\neg\) — отрицание, \(\land\) — логическое И, \(\lor\) — логическое ИЛИ.
Шаг 1: Рассмотрим части выражения
- Первая часть: \(\neg (X > 6) \land (X \leq 13)\)
- \(\neg (X > 6)\) равносильно \(X \leq 6\): число НЕ больше 6.
- Так что первая часть — это числа, которые одновременно \(X \leq 6\) и \(X \leq 13\). Но при этом условие \(\land\) требует оба условия, а самое строгое — это \(X \leq 6\) (так как оно менее ограничительно, чем \(X \leq 13\)).
Итак, первая часть задаёт: \(X \leq 6\).
- Вторая часть: \(X \geq 3\)
Шаг 2: Объединение условий
Общая условие — это логическое ИЛИ:
\[ \left( \text{первая часть} \right) \lor \left( \text{вторая часть} \right) \]
Что это означает?
Число удовлетворяет условию, если оно либо:
- \(\leq 6\) (первая часть), или
- \(\geq 3\) (вторая часть).
Шаг 3: Объединение
Перечислим:
- Если \(X \leq 6\), условие выполнено (даже если \(X < 3\), так как 3, 4, 5, 6 — подходят для второй части).
- Если \(X \geq 3\), условие выполнено (даже если \(X > 6\), условие всё равно выполняется по второй части).
Что остается проверить? - находятся ли такие числа \(X\), которые не подходят ни первой, ни второй части?
Нет, потому что:
- Если \(X \leq 6\), условие выполнено.
- Если \(X \geq 3\), условие выполнено.
Шаг 4: Какие числа подходят?
Объединение условий даёт интервал:
\[ X \leq 6 \quad \text{или} \quad X \geq 3 \]
Объединение двух интервалов:
\[ X \geq 3 \quad \text{или} \quad X \leq 6 \]
Объединение интервалов:
- Всё число от 3 до 6 подходит: \([3,6]\).
- Для чисел меньше 3, условие не выполнится, потому что:
Проверим на примерах:
\(X=2\):
\(\neg (2>6)\) — верно, так как 2 не больше 6, а значит первая часть \(\text{истина}\) (так как \(X \leq 6\)), и условие выполнено.
Однако, учитывая наш вывод, у нас есть желание найти минимальное натуральное число, удовлетворяющее условию.
Шаг 5: Итог
Всё число, которые не подходят:
- Если \(X<3\) и \(\dots\); посмотрим подробнее:
Проверим \(X=1\):
- \(\neg (1 > 6)\) — верно, 1 не больше 6 (первая часть), а \(1 \leq 13\) — тоже верно.
- Первая часть: \(X \leq 6\) — верно.
- Вторая часть — \(X \geq 3\) — нет, так как 1<3, не подходит.
Общий оператор — ИЛИ: так как первая часть — верна, условие выполнено.
Ответ:
Минимальное натуральное число \(X\), для которого условие истинно — это 1.
Итог:
Ответ: \(\boxed{1}\)
Если нужно, я могу ещё подробно объяснить каждый шаг.
