1. Представьте в виде многочлена выражение: 1) (p + 8) ^ 2 3) (x - 9)(x + 9) 2) (10x - 3y)2; 4) (4m + 7n)(7n - 4m) . 2. Разложите на множители: 1) 16-c2; 3) 9m² - 25; 2) p ^ 2 +…
1. Представьте в виде многочлена выражение: 1) (p + 8) ^ 2 3) (x - 9)(x + 9) 2) (10x - 3y)2; 4) (4m + 7n)(7n - 4m) . 2. Разложите на множители: 1) 16-c2; 3) 9m² - 25; 2) p ^ 2 + 2p + 1 ; 4) 36m ^ 2 + 24mn + 4n ^ 2 3. Упростите выражение (a - 10) ^ 2 - (a - 5)(a + 5) . 4. Решите уравнение: (5 - x) ^ 2 - x(2, 5 + x) = 0 5. Выполните действия: а) (2a - b ^ 2)(2a + b ^ 2) б) (х-6х3)2; в) (y + b) ^ 2 * (y - b) ^ 2
Конечно! Вот подробное решение всех заданий.
1. Представьте в виде многочлена выражения
1) (p + 8)²
Раскроем квадрат суммы по формуле: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
- \(a = p\)
- \(b = 8\)
\[ (p + 8)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 8 + 8^2 = p^2 + 16p + 64 \]
2) (10x - 3y)^2
Господствуют правила квадрата разности или суммы:
\[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]
- \(a = 10x\)
- \(b = 3y\)
\[ (10x - 3y)^2 = (10x)^2 - 2 \cdot 10x \cdot 3y + (3y)^2 = 100x^2 - 60xy + 9y^2 \]
3) (x - 9)(x + 9)
Это разность двух квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Значит,
\[ (x)^2 - 9^2 = x^2 - 81 \]
4) (4m + 7n)(7n - 4m)
Здесь умножение двух выражений вида \((a + b)(c - d)\). Раскроем скобки:
\[ (4m + 7n)(7n - 4m) = 4m \cdot 7n - 4m \cdot 4m + 7n \cdot 7n - 7n \cdot 4m \]
Но заметим, что это произведение разности и суммы, и оно является разностью квадратов:
\[ A \times B = (a + b)(c - d) \text{ при условии, что } a=c, \text{ что здесь не так}. \text{ Или проще: подсчитаем по-старому:} \]
Раскроем по правилу:
\[ = 4m \cdot 7n - 4m \cdot 4m + 7n \cdot 7n - 7n \cdot 4m \]
Тут видно, что первые и последние слагаемые сократятся, потому что:
\[ 4m \cdot 7n - 7n \cdot 4m = 0 \]
Остается:
\[ - 16m^2 + 49n^2 \]
или в виде:
\[ 49n^2 - 16m^2 \]
2. Разложите на множители
1) \(16 - c^2\)
Это разность квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Здесь \(a^2=16 \Rightarrow a=4\), \(b=c\),
\[ 16 - c^2 = (4 - c)(4 + c) \]
2) \(p^2 + 2p + 1\)
Это квадрат бинома:
\[ p^2 + 2p + 1 = (p + 1)^2 \]
3) \(9m^2 - 25\)
Также разность квадратов:
\[ (3m)^2 - 5^2 = (3m - 5)(3m + 5) \]
4) \(36m^2 + 24mn + 4n^2\)
Это квадрат бинома:
\[ (6m + 2n)^2 \]
Проверим:
\[ (6m + 2n)^2 = 36m^2 + 2 \cdot 6m \cdot 2n + (2n)^2 = 36m^2 + 24mn + 4n^2 \]
3. Упростите выражение: \((a - 10)^2 - (a - 5)(a + 5)\)
Раскроем скобки:
\((a - 10)^2 = a^2 - 20a + 100\)
\((a - 5)(a + 5) = a^2 - 25\)
Теперь:
\[ a^2 - 20a + 100 - (a^2 - 25) = a^2 - 20a + 100 - a^2 + 25 = -20a + 125 \]
Ответ: \(\boxed{-20a + 125}\).
4. Решите уравнение: \((5 - x)^2 - x(2.5 + x) = 0\)
Раскроем скобки:
\[ (5 - x)^2 = 25 - 10x + x^2 \]
и
\[ x(2.5 + x) = 2.5x + x^2 \]
Подставим и перенесем все в левую часть:
\[ 25 - 10x + x^2 - (2.5x + x^2) = 0 \]
\[ 25 - 10x + x^2 - 2.5x - x^2 = 0 \]
\[ 25 - (10x + 2.5x) = 0 \]
\[ 25 - 12.5x = 0 \]
Решим относительно \(x\):
\[ 12.5x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{12.5} = 2 \]
Ответ: \(\boxed{x=2}\).
5. Выполните действия
а) \((2a - b^2)(2a + b^2)\)
Это разность квадратов:
\[ (a - b)^2 = a^2 - b^2 \]
Значит:
\[ (2a)^2 - (b^2)^2 = 4a^2 - b^4 \]
б) \((x - 6x^3)^2\)
Запишем как:
\[ (x - 6x^3)^2 \]
Раскроем по формуле квадрата суммы/разности:
\[ = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6x^3 + (6x^3)^2 = x^2 - 12x^4 + 36x^6 \]
в) \((y + b)^2 \cdot (y - b)^2\)
Это произведение квадратов:\
\[ [(y + b)(y - b)]^2 = (y^2 - b^2)^2 \]
Всего хорошего! Если нужно, могу объяснить любые шаги подробнее.
