Давайте обозначим неизвестные величины и решим задачу пошагово.
Обозначения:
- Пусть М — количество дней, за которое мастер изготовит кресло.
- Пусть У — количество дней, за которое ученик изготовит кресло.
Дано:
Ученик тратит на изготовление кресла на 10 дней больше, чем мастер:
[
У = М + 10
]
Совместная работа позволяет им сделать кресло за 12 дней:
[
\text{за 12 дней совместной работы они сделают 1 кресло.}
]
Шаг 1. Запишем скорости работы
скорость работы — это доля работы, выполненная за один день.
- Мастер за один день делает (\frac{1}{М}) кресла.
- Ученик за один день делает (\frac{1}{У} = \frac{1}{М + 10}) кресла.
Шаг 2. Запишем уравнение для совместной работы
За 12 дней они сделают полностью 1 кресло:
[
12 \left( \frac{1}{М} + \frac{1}{М + 10} \right) = 1
]
Распишем сумму внутри скобок:
[
12 \left( \frac{1}{М} + \frac{1}{М + 10} \right) = 1
]
Шаг 3. Объединим дроби внутри скобок
Общий знаменатель:
[
\frac{(М + 10) + М}{М (М + 10)} = \frac{2М + 10}{М (М + 10)}
]
Подставим обратно:
[
12 \cdot \frac{2М + 10}{М (М + 10)} = 1
]
Шаг 4. решим уравнение
Перепишем уравнение:
[
\frac{12 (2М + 10)}{М (М + 10)} = 1
]
Упростим числитель:
[
12 (2М + 10) = 24М + 120
]
Тогда уравнение:
[
\frac{24М + 120}{М (М + 10)} = 1
]
Перемножим обе части уравнения на знаменатель:
[
24М + 120 = М (М + 10)
]
Раскроем скобки справа:
[
24М + 120 = М^2 + 10М
]
Перенесем все в левую сторону:
[
М^2 + 10М - 24М - 120 = 0
]
Объединим подобные:
[
М^2 - 14М - 120 = 0
]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение
Дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676
]
Корень дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26
]
Найти корни:
[
М = \frac{14 \pm 26}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
- (\frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20)
- (\frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6)
Так как время не может быть отрицательным, выбираем:
[
М = 20
]
Шаг 6. Найдём время ученика
[
У = М + 10 = 20 + 10 = 30
]
Ответ:
Ученик может изготовить кресло за 30 дней.
