В столярной мастерской работают мастер и его ученик. За сколько дней ученик может изготовить кресло, если он на изготовление кресла тратит на 10 дн(ей, -я) больше, чем мастер, а…
В столярной мастерской работают мастер и его ученик. За сколько дней ученик может изготовить кресло, если он на изготовление кресла тратит на 10 дн(ей, -я) больше, чем мастер, а работая одновременно, они могут эту работу сделать за 12 дн(ей,-я) Ученик может изготовить кресло за дн(-ей,-я).
Давайте обозначим неизвестные величины и решим задачу пошагово.
Обозначения:
- Пусть М — количество дней, за которое мастер изготовит кресло.
- Пусть У — количество дней, за которое ученик изготовит кресло.
Дано:
Ученик тратит на изготовление кресла на 10 дней больше, чем мастер: \[ У = М + 10 \]
Совместная работа позволяет им сделать кресло за 12 дней: \[ \text{за 12 дней совместной работы они сделают 1 кресло.} \]
Шаг 1. Запишем скорости работы
скорость работы — это доля работы, выполненная за один день.
- Мастер за один день делает \(\frac{1}{М}\) кресла.
- Ученик за один день делает \(\frac{1}{У} = \frac{1}{М + 10}\) кресла.
Шаг 2. Запишем уравнение для совместной работы
За 12 дней они сделают полностью 1 кресло: \[ 12 \left( \frac{1}{М} + \frac{1}{М + 10} \right) = 1 \]
Распишем сумму внутри скобок:
\[ 12 \left( \frac{1}{М} + \frac{1}{М + 10} \right) = 1 \]
Шаг 3. Объединим дроби внутри скобок
Общий знаменатель:
\[ \frac{(М + 10) + М}{М (М + 10)} = \frac{2М + 10}{М (М + 10)} \]
Подставим обратно:
\[ 12 \cdot \frac{2М + 10}{М (М + 10)} = 1 \]
Шаг 4. решим уравнение
Перепишем уравнение:
\[ \frac{12 (2М + 10)}{М (М + 10)} = 1 \]
Упростим числитель:
\[ 12 (2М + 10) = 24М + 120 \]
Тогда уравнение:
\[ \frac{24М + 120}{М (М + 10)} = 1 \]
Перемножим обе части уравнения на знаменатель:
\[ 24М + 120 = М (М + 10) \]
Раскроем скобки справа:
\[ 24М + 120 = М^2 + 10М \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ М^2 + 10М - 24М - 120 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ М^2 - 14М - 120 = 0 \]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение
Дискриминант:
\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676 \]
Корень дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \]
Найти корни:
\[ М = \frac{14 \pm 26}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \(\frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20\)
- \(\frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)
Так как время не может быть отрицательным, выбираем:
\[ М = 20 \]
Шаг 6. Найдём время ученика
\[ У = М + 10 = 20 + 10 = 30 \]
Ответ:
Ученик может изготовить кресло за 30 дней.
