Катер отправился в путь из пункта  A A в  12 : 00 12:00 и по течению реки до пункта  B B прошёл  80 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё  99 99 км и завершил путешествие в пункте  C C в  19 : 00 19:00. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна  5 5 км/ч.

Давайте подробно разберем задачу и решим ее пошагово. **Дано:** - Время отправления: 12:00 - Время прибытия в пункт C: 19:00 - Расстояние по течению: 80 км - Расстояние против течения: 99 км - Скорость течения реки: 5 км/ч - Не указана скорость катера относительно воды: обозначим её как \( v \) км/ч. Нам нужно найти собственную скорость катера \( v \). --- ### Шаг 1. Определим, сколько всего времени длилось путешествие От 12:00 до 19:00 — это 7 часов. **Общее время в пути:** \[ T_{общ} = 7 \text{ часов} \] --- ### Шаг 2. Распределим время по пути Обозначим: - время в пути по течению — \( t_1 \) - время против течения — \( t_2 \) Т.к. весь путь длился 7 часов: \[ t_1 + t_2 = 7 \] --- ### Шаг 3. Выразим скорости в каждом участке - **По течению:** катер движется со скоростью \( v + 5 \) км/ч. - **Против течения:** со скоростью \( v - 5 \) км/ч. Обязательно учитываем, что расстояния по всему маршруту — 80 км (по течению) и 99 км (против течения). --- ### Шаг 4. Запишем выражения для времени на каждом участке Время на пути по течению: \[ t_1 = \frac{80}{v + 5} \] Время на пути против течения: \[ t_2 = \frac{99}{v - 5} \] Общая сумма равна 7 часам: \[ \frac{80}{v + 5} + \frac{99}{v - 5} = 7 \] --- ### Шаг 5. Решим полученное уравнение Упростим уравнение: \[ \frac{80}{v + 5} + \frac{99}{v - 5} = 7 \] Общий знаменатель: \( (v + 5)(v - 5) = v^2 - 25 \). Перепишем левую часть с общим знаменателем: \[ \frac{80(v - 5) + 99(v + 5)}{v^2 - 25} = 7 \] Раскроем скобки в числителе: \[ 80v - 80 \cdant + 99v + 495 \] То есть: \[ (80v + 99v) + (-80 + 495) = 179v + 415 \] Следовательно: \[ \frac{179v + 415}{v^2 - 25} = 7 \] --- ### Шаг 6. Решим полученное уравнение относительно \( v \) Умножим обе части на знаменатель: \[ 179v + 415 = 7(v^2 - 25) \] Раскроем правую часть: \[ 179v + 415 = 7v^2 - 175 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 7v^2 - 179v - 175 - 415 = 0 \] Объединим константы: \[ 7v^2 - 179v - 590 = 0 \] --- ### Шаг 7. Решим квадратное уравнение Коэффициенты: - \( a = 7 \) - \( b = -179 \) - \( c = -590 \) Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-179)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-590) \] Вычислим: \[ 179^2 = 32041 \] \[ 4 \cdot 7 \cdot 590 = 4 \cdot 7 \cdot 590 = 4 \cdot 4130 = 16520 \] Так как \( c \ отрицательное, \) то: \[ D = 32041 + 16520 = 48561 \] Найдем корни по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим числовые значения: \[ v = \frac{179 \pm \sqrt{48561}}{14} \] Вычислим \( \sqrt{48561} \): Приблизительно: \[ \sqrt{48561} \approx 220.36 \] Следовательно, два варианта: 1. \[ v = \frac{179 + 220.36}{14} \approx \frac{399.36}{14} \approx 28.53 \text{ км/ч} \] 2. \[ v = \frac{179 - 220.36}{14} \approx \frac{-41.36}{14} \approx -2.95 \text{ км/ч} \] Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем положительный ответ: \[ \boxed{v \approx 28.5 \text{ км/ч}} \] --- ### **Ответ:** **Собственная скорость катера примерно равна 28.5 км/ч.**