Катер отправился в путь из пункта A A в 12 : 00 12:00 и по течению реки до пункта B B прошёл 80 80 км. Повернув обратно, он прошёл ещё 99 99 км и завершил путешествие в пункте C C…

Давайте подробно разберем задачу и решим ее пошагово.

Дано:

• Время отправления: 12:00
• Время прибытия в пункт C: 19:00
• Расстояние по течению: 80 км
• Расстояние против течения: 99 км
• Скорость течения реки: 5 км/ч
• Не указана скорость катера относительно воды: обозначим её как \( v \) км/ч.

Нам нужно найти собственную скорость катера \( v \).

---

Шаг 1. Определим, сколько всего времени длилось путешествие

От 12:00 до 19:00 — это 7 часов.

Общее время в пути:

\[ T_{общ} = 7 \text{ часов} \]

---

Шаг 2. Распределим время по пути

Обозначим:

• время в пути по течению — \( t_1 \)
• время против течения — \( t_2 \)

Т.к. весь путь длился 7 часов:

\[ t_1 + t_2 = 7 \]

---

Шаг 3. Выразим скорости в каждом участке

• По течению: катер движется со скоростью \( v + 5 \) км/ч.
• Против течения: со скоростью \( v - 5 \) км/ч.

Обязательно учитываем, что расстояния по всему маршруту — 80 км (по течению) и 99 км (против течения).

---

Шаг 4. Запишем выражения для времени на каждом участке

Время на пути по течению:

\[ t_1 = \frac{80}{v + 5} \]

Время на пути против течения:

\[ t_2 = \frac{99}{v - 5} \]

Общая сумма равна 7 часам:

\[ \frac{80}{v + 5} + \frac{99}{v - 5} = 7 \]

---

Шаг 5. Решим полученное уравнение

Упростим уравнение:

\[ \frac{80}{v + 5} + \frac{99}{v - 5} = 7 \]

Общий знаменатель: \( (v + 5)(v - 5) = v^2 - 25 \).

Перепишем левую часть с общим знаменателем:

\[ \frac{80(v - 5) + 99(v + 5)}{v^2 - 25} = 7 \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ 80v - 80 \cdant + 99v + 495 \]

То есть:

\[ (80v + 99v) + (-80 + 495) = 179v + 415 \]

Следовательно:

\[ \frac{179v + 415}{v^2 - 25} = 7 \]

---

Шаг 6. Решим полученное уравнение относительно \( v \)

Умножим обе части на знаменатель:

\[ 179v + 415 = 7(v^2 - 25) \]

Раскроем правую часть:

\[ 179v + 415 = 7v^2 - 175 \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ 7v^2 - 179v - 175 - 415 = 0 \]

Объединим константы:

\[ 7v^2 - 179v - 590 = 0 \]

---

Шаг 7. Решим квадратное уравнение

Коэффициенты:

• \( a = 7 \)
• \( b = -179 \)
• \( c = -590 \)

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-179)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-590) \]

Вычислим:

\[ 179^2 = 32041 \]

\[ 4 \cdot 7 \cdot 590 = 4 \cdot 7 \cdot 590 = 4 \cdot 4130 = 16520 \]

Так как \( c \ отрицательное, \) то:

\[ D = 32041 + 16520 = 48561 \]

Найдем корни по формуле:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим числовые значения:

\[ v = \frac{179 \pm \sqrt{48561}}{14} \]

Вычислим \( \sqrt{48561} \):

Приблизительно:

\[ \sqrt{48561} \approx 220.36 \]

Следовательно, два варианта:

1.

\[ v = \frac{179 + 220.36}{14} \approx \frac{399.36}{14} \approx 28.53 \text{ км/ч} \]

2.

\[ v = \frac{179 - 220.36}{14} \approx \frac{-41.36}{14} \approx -2.95 \text{ км/ч} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем положительный ответ:

\[ \boxed{v \approx 28.5 \text{ км/ч}} \]

---

Ответ:

Собственная скорость катера примерно равна 28.5 км/ч.