В прямоугольном треугольнике ABCABC гипотенуза AB=24а площадь равна 72. Найди меньший острый угол этого треугольника. Ответ запиши в градусах.
Давайте по шагам решим задачу.
Дано:
- В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 24а
- Площадь треугольника S = 72
Найти: меньший острый угол треугольника, то есть один из острых углов, например, ∠ACB.
Шаг 1. Обозначения и свойства прямоугольного треугольника
Пусть:
- гипотенуза: AB = 24а
- катеты: AC = b, BC = c
Поскольку треугольник прямой, то выполняется:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad (24а)^2 = b^2 + c^2
\]
Площадь:
\[
S = \frac{1}{2} \times b \times c = 72
\]
Из этого:
\[
b c = 144
\]
Шаг 2. Взаимосвязь катетов
Из уравнения площади:
\[
b c = 144
\]
Нам нужно определить угол, например, ∠ACB, против катета c.
Шаг 3. Выражение для угла
Меньший острый угол, например, ∠ACB (против стороны c), связан с катетами через тригонометрию:
\[ \cos(\angle ACB) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{AB} \]
или
\[ \sin(\angle ACB) = \frac{c}{AB} \]
и
\[ \tan(\angle ACB) = \frac{c}{b} \]
Нам нужно найти угол, то есть определить по известным параметрам один из этих тригонометрических выражений.
Шаг 4. Используем соотношения
Из уравнения площади:
\[
b c = 144
\]
Из уравнения гипотенузы:
\[
b^2 + c^2 = (24a)^2 = 576a^2
\]
Выразим один катет через другой:
\[ c = \frac{144}{b} \]
Подставим в уравнение гипотенузы:
\[ b^2 + \left(\frac{144}{b}\right)^2 = 576a^2 \]
\[ b^2 + \frac{20736}{b^2} = 576a^2 \]
Приведем к уравнению относительно \(b^2\):
\[ b^4 - 576a^2 b^2 + 20736 = 0 \]
Обозначим \(x = b^2\):
\[ x^2 - 576a^2 x + 20736 = 0 \]
Шаг 5. Решаем квадратичное уравнение относительно \(x\)
Корни уравнения:
\[ x = \frac{576a^2 \pm \sqrt{(576a^2)^2 - 4 \times 1 \times 20736}}{2} \]
Посчитаем дискриминант:
\[
D = (576a^2)^2 - 4 \times 20736
\]
\[ D = 331776 a^4 - 82944 \]
Шаг 6. Заметим, что задача не указывает конкретную величину \(a\), а задается только через гипотенузу \(AB = 24a\).
Если выбрать \(a=1\) (единица измерения), тогда:
\[ b^2 + c^2 = 576 \] \[ b c = 144 \]
Это стандартная система.
Рассмотрим уравнение:
\[ b^2 + c^2 = 576 \] \[ b c = 144 \]
Шаг 7. Найдём сторону при помощи симметричных переменных
Известно, что:
\[ b + c = x \] \[ b c = 144 \]
Также:
\[ b^2 + c^2 = (b + c)^2 - 2bc = x^2 - 2 \times 144 = x^2 - 288 \]
Но мы знаем, что:
\[ b^2 + c^2 = 576 \]
Тогда:
\[ x^2 - 288 = 576 \] \[ x^2 = 864 \] \[ x = \sqrt{864} = \sqrt{144 \times 6} = 12 \sqrt{6} \]
Теперь, так как:
\[ b + c = 12 \sqrt{6} \] \[ b c = 144 \]
Шаг 8. Вычислим катеты
Решим квадратичное уравнение для b:
\[ b^2 - (b + c) b + c b = 0 \]
Но проще:
Рассмотрим систему для b и c как корни уравнения:
\[ t^2 - (b+c) t + b c = 0 \] \[ t^2 - 12 \sqrt{6} t + 144 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ t = \frac{12 \sqrt{6} \pm \sqrt{(12 \sqrt{6})^2 - 4 \times 144}}{2} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ D_t = (12 \sqrt{6})^2 - 4 \times 144 \]
\[ (12 \sqrt{6})^2 = 144 \times 6 = 864 \]
\[ D_t = 864 - 576 = 288 \]
Следовательно,
\[ t = \frac{12 \sqrt{6} \pm \sqrt{288}}{2} \]
\[ \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2} \]
Итак,
\[ t = \frac{12 \sqrt{6} \pm 12 \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{6} \pm 6 \sqrt{2} \]
Следовательно, катеты:
\[ b = 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2} \] \[ c = 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} \]
(или наоборот, так как названия катетов не важны).
Шаг 9. Наконец, найдём угол
Нам интересен меньший острый угол, против меньшего катета \(c = 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}\).
Используем:
\[ \sin(\angle ACB) = \frac{c}{AB} \]
Поскольку \(AB = 24a\), при \(a=1\):
\[ AB=24 \]
тогда
\[ \sin \theta = \frac{6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}}{24} = \frac{6 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{24} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Шаг 10. Вычислим угол
Найдём \(\theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)\).
Приблизительно:
\(\sqrt{6} \approx 2.45\),
\(\sqrt{2} \approx 1.414\):
\[ \frac{2.45 - 1.414}{4} = \frac{1.036}{4} \approx 0.259 \]
Теперь найдём угол:
\[ \theta \approx \arcsin(0.259) \approx 15^\circ \]
Ответ:
Меньший острый угол треугольника ≈ 15 градусов.
Если нужны более точные данные, можно использовать более точное вычисление, но по приблизительным расчетам — это около 15 градусов.
