В прямоугольном треугольнике ABCABC гипотенуза AB=24а площадь равна 72. Найди меньший острый угол этого треугольника. Ответ запиши в градусах.

Давайте по шагам решим задачу. **Дано:** - В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = 24а - Площадь треугольника S = 72 **Найти:** меньший острый угол треугольника, то есть один из острых углов, например, ∠ACB. --- ### Шаг 1. Обозначения и свойства прямоугольного треугольника Пусть: - гипотенуза: AB = 24а - катеты: AC = b, BC = c Поскольку треугольник прямой, то выполняется: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \quad \Rightarrow \quad (24а)^2 = b^2 + c^2 \] Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times b \times c = 72 \] Из этого: \[ b c = 144 \] ### Шаг 2. Взаимосвязь катетов Из уравнения площади: \[ b c = 144 \] Нам нужно определить угол, например, ∠ACB, против катета c. --- ### Шаг 3. Выражение для угла Меньший острый угол, например, ∠ACB (против стороны c), связан с катетами через тригонометрию: \[ \cos(\angle ACB) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{AB} \] или \[ \sin(\angle ACB) = \frac{c}{AB} \] и \[ \tan(\angle ACB) = \frac{c}{b} \] Нам нужно найти угол, то есть определить по известным параметрам один из этих тригонометрических выражений. --- ### Шаг 4. Используем соотношения Из уравнения площади: \[ b c = 144 \] Из уравнения гипотенузы: \[ b^2 + c^2 = (24a)^2 = 576a^2 \] Выразим один катет через другой: \[ c = \frac{144}{b} \] Подставим в уравнение гипотенузы: \[ b^2 + \left(\frac{144}{b}\right)^2 = 576a^2 \] \[ b^2 + \frac{20736}{b^2} = 576a^2 \] Приведем к уравнению относительно \(b^2\): \[ b^4 - 576a^2 b^2 + 20736 = 0 \] Обозначим \(x = b^2\): \[ x^2 - 576a^2 x + 20736 = 0 \] --- ### Шаг 5. Решаем квадратичное уравнение относительно \(x\) Корни уравнения: \[ x = \frac{576a^2 \pm \sqrt{(576a^2)^2 - 4 \times 1 \times 20736}}{2} \] Посчитаем дискриминант: \[ D = (576a^2)^2 - 4 \times 20736 \] \[ D = 331776 a^4 - 82944 \] --- ### Шаг 6. Заметим, что задача не указывает конкретную величину \(a\), а задается только через гипотенузу \(AB = 24a\). Если выбрать \(a=1\) (единица измерения), тогда: \[ b^2 + c^2 = 576 \] \[ b c = 144 \] Это стандартная система. Рассмотрим уравнение: \[ b^2 + c^2 = 576 \] \[ b c = 144 \] --- ### Шаг 7. Найдём сторону при помощи симметричных переменных Известно, что: \[ b + c = x \] \[ b c = 144 \] Также: \[ b^2 + c^2 = (b + c)^2 - 2bc = x^2 - 2 \times 144 = x^2 - 288 \] Но мы знаем, что: \[ b^2 + c^2 = 576 \] Тогда: \[ x^2 - 288 = 576 \] \[ x^2 = 864 \] \[ x = \sqrt{864} = \sqrt{144 \times 6} = 12 \sqrt{6} \] Теперь, так как: \[ b + c = 12 \sqrt{6} \] \[ b c = 144 \] --- ### Шаг 8. Вычислим катеты Решим квадратичное уравнение для b: \[ b^2 - (b + c) b + c b = 0 \] Но проще: Рассмотрим систему для b и c как корни уравнения: \[ t^2 - (b+c) t + b c = 0 \] \[ t^2 - 12 \sqrt{6} t + 144 = 0 \] Решим это уравнение: \[ t = \frac{12 \sqrt{6} \pm \sqrt{(12 \sqrt{6})^2 - 4 \times 144}}{2} \] Посчитаем дискриминант: \[ D_t = (12 \sqrt{6})^2 - 4 \times 144 \] \[ (12 \sqrt{6})^2 = 144 \times 6 = 864 \] \[ D_t = 864 - 576 = 288 \] Следовательно, \[ t = \frac{12 \sqrt{6} \pm \sqrt{288}}{2} \] \[ \sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = 12 \sqrt{2} \] Итак, \[ t = \frac{12 \sqrt{6} \pm 12 \sqrt{2}}{2} = 6 \sqrt{6} \pm 6 \sqrt{2} \] **Следовательно, катеты:** \[ b = 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{2} \] \[ c = 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2} \] (или наоборот, так как названия катетов не важны). --- ### Шаг 9. Наконец, найдём угол Нам интересен меньший острый угол, против меньшего катета \(c = 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}\). Используем: \[ \sin(\angle ACB) = \frac{c}{AB} \] Поскольку \(AB = 24a\), при \(a=1\): \[ AB=24 \] тогда \[ \sin \theta = \frac{6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}}{24} = \frac{6 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{24} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] --- ### Шаг 10. Вычислим угол Найдём \(\theta = \arcsin \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)\). Приблизительно: \(\sqrt{6} \approx 2.45\), \(\sqrt{2} \approx 1.414\): \[ \frac{2.45 - 1.414}{4} = \frac{1.036}{4} \approx 0.259 \] Теперь найдём угол: \[ \theta \approx \arcsin(0.259) \approx 15^\circ \] --- ### **Ответ:** Меньший острый угол треугольника ≈ **15 градусов**. --- Если нужны более точные данные, можно использовать более точное вычисление, но по приблизительным расчетам — это около **15 градусов**.