Квадрат 300×300 разбили на квадраты 3×3 и покрасили их в шахматном порядке (на рисунке изображена раскраска левого верхнего угла этой доски). Сколькими способами из доски можно вырезать квадрат 2×2 с указанной раскраской (при этом, возможно, предварительно повернув)?

Давайте разберемся с условиями задачи по шагам. **Задача:** Дана большая доска размером 300×300, которая разбита на 3×3 квадраты (таких клеток будет 100×100 — так как 300/3=100). Эти квадраты раскрашены в шахматном порядке: чередуются по цвету по всему полю, начиная с верхнего левого квадрата (который изображен как цвет, обозначающий "черный" или "белый" — название не указано, значит условимся, что первый квадрат — черный). Нужно посчитать, сколькими способами (учитывая возможные повороты) можно вырезать из этой доски квадрат размером 2×2, при условии, что: - Цвета квадрата 2×2 совпадают с раскраской именно этой части доски (возможен поворот вырезанного квадрата на 90°, 180°, 270°, и, наверное, также без поворота). - Вырезать можно любой такой квадрат на доске, то есть любые 2×2 части, которые полностью входят в доску. --- ### Шаг 1: Как устроена раскраска? - Каждая 3×3 часть, разбитая по доске, — это один "квадрат", который окрашен в чередующемся шахматном порядке. - Начинаем с верхнего левого квадрата, который — допустим, черный. Т.к. доска раскрашена в шахматном порядке, то цвет квадрата (3×3) можно определить по координатам его верхнего левого угла: - Пусть координаты клетки — (i, j), с i, j от 0 до 99 (так как всего 100×100 клеток). - Тогда цвет этого квадрата определяется по формуле: \[ \text{цвет} = ((i // 3) + (j // 3)) \bmod 2 \] где 1 — черный, 0 — белый. (или наоборот, не важно, главное чтобы было согласованно). --- ### Шаг 2: Какая раскраска у 2×2 квадрата? - В 2×2 квадрате из клеток, расположенных, например, так: \[ \begin{bmatrix} (i, j) & (i, j+1) \\ (i+1, j) & (i+1, j+1) \end{bmatrix} \] - Цвета этих клеток определяются по тому же принципу. - Требование — чтобы 2×2 квадрат имел "фиксированную" раскраску, то есть все четыре клетки соответствовали бы цветам, которые образуются при этом расположении. --- ### Шаг 3: Какие раскраски возможны у 2×2 квадрата? Рассмотрим, какие варианты могут быть: - Черные и белые клетки чередуются по шахматному принципу. - В 2×2 оригинальном шахматном раскрасе клетки по диагонали часто совпадают по цвету. Возьмем пример: \[ \begin{bmatrix} black & white \\ white & black \end{bmatrix} \] или \[ \begin{bmatrix} white & black \\ black & white \end{bmatrix} \] Это два возможных варианта раскраски 2×2 квадрата, которые соответствуют шахматному порядку (черные и белые клетки по диагоналям). --- ### Шаг 4: Какие расположения и сколько их? Поскольку доска чередуется с шагом 3 в координатах, то для определения раскраски каждого отрезка: - Для каждого положения (i, j), где i и j — от 0 до 98 (так как вырезаем по 2 клетки, а поле 300×300). - Вырезая 2×2, получаю: \[ \text{цвет}(i, j), \quad \text{цвет}(i, j+1), \quad \text{цвет}(i+1, j), \quad \text{цвет}(i+1, j+1) \] --- ### Шаг 5: Когда 2×2 квадраты подходят? Для **фиксированной раскраски**, например, для "диагональной черной-белой" раскраски: \[ \text{цвет}(i, j) = ((i//3) + (j//3)) \bmod 2 \] тогда: - Верхний левый: цвет = \(A\) - Верхний правый: цвет = \(((i//3) + (j//3) + 1)\bmod 2\) - Нижний левый: то же самое, так как (i+1)//3, (j)//3 - Нижний правый: \(((i+1)//3 + (j+1)//3)\bmod 2\) **Важно:** чтобы 2×2 блок соответствовал одной из двух возможных схем (черные и белые по диагонали), нужно проверить, что цвета клеток совпадают с этими паттернами. ### Итоговая формулировка 1. Обозначим, что существует только 2 возможных раскраски 2×2 квадрата (по диагоналям черные-белые или белые-черные). 2. Для каждого положения (i, j) от 0 до 98: - Определим цвета четырех клеток по формуле. - Проверим, совпадает ли раскраска с одной из двух схем. 3. Количество таких 2×2 квадратов — это сумма по всей доске. ### Итог: - Весь "повтор" раскраски — это чередование по клеткам, основанное на (\(i//3 + j//3\)). - В каждом из 98×98 возможных мест (так как 300-2=298, делим на 1, то есть от 0 до 98), будет либо совпадать, либо нет. - Так как раскраска основывается на делении на 3, и существует только 2 схематичные вариации раскраски (по диагонали черные или белые), количество подходящих квадратиков — это сумма по всей доске. --- ### Итоговая формула: **Количество способов вырезать подходящий 2×2 квадрат (с учетом возможных поворотов):** - Так как по условию, можно повернуть квадрат (на 90°, 180°, 270°). Однако, для шахматного шаблона, повороты 90° или 270° меняют раскраску, поэтому: - В пределах одной раскраски, 2 обоснованные вариации — это разные раскраски без поворота, и повороты 180° — так как при повернутом на 180°, паттерн сохраняется. - В итоге, допустим, существует 2 варианта раскраски (по диагоналям черный-белый и белый-черный). - Для каждого варианта подсчитается число совпадающих позиций, мы выбираем минимум между ними (или считаем каждую отдельно). --- ## Итоговая ответ: **Количество подходящих 2×2 квадратиков:** \[ \boxed{ \text{Общее количество} = \text{число всех подходящих положений} \times (\text{число способов повернуть, сохраняющих раскраску}) } \] Поскольку: - Вариант без поворота: все подходящие позиции. - Поворот на 180° сохраняет раскраску, потому что черные и белые на диагоналях меняются местами, и такая раскраска повторяется. - Поворот на 90° и 270° меняет паттерн. **Итог**: Количество 2×2 квадратов, укладывающихся в 300×300 доску, с подходящей раскраской (учитывая, что такие квадраты соответствуют двум возможным шахматным шаблонам), равно: \[ \boxed{ 2 \times (98 \times 98) } \] так как: - Всего позиций — 98×98, - есть 2 варианта раскраски по диагонали. --- ## Финальный ответ: > **Ответ:** \(\boxed{2 \times 98 \times 98 = 19208}\) --- Если нужно точное число с учетом особенностей возможных поворотов, достаточно умножить 98×98 на 2. Если имеются дополнительные уточнения или вопросы, можете задать!