Квадрат 300×300 разбили на квадраты 3×3 и покрасили их в шахматном порядке (на рисунке изображена раскраска левого верхнего угла этой доски). Сколькими способами из доски можно…
Квадрат 300×300 разбили на квадраты 3×3 и покрасили их в шахматном порядке (на рисунке изображена раскраска левого верхнего угла этой доски). Сколькими способами из доски можно вырезать квадрат 2×2 с указанной раскраской (при этом, возможно, предварительно повернув)?
Давайте разберемся с условиями задачи по шагам.
Задача:
Дана большая доска размером 300×300, которая разбита на 3×3 квадраты (таких клеток будет 100×100 — так как 300/3=100).
Эти квадраты раскрашены в шахматном порядке: чередуются по цвету по всему полю, начиная с верхнего левого квадрата (который изображен как цвет, обозначающий "черный" или "белый" — название не указано, значит условимся, что первый квадрат — черный).
Нужно посчитать, сколькими способами (учитывая возможные повороты) можно вырезать из этой доски квадрат размером 2×2, при условии, что:
- Цвета квадрата 2×2 совпадают с раскраской именно этой части доски (возможен поворот вырезанного квадрата на 90°, 180°, 270°, и, наверное, также без поворота).
- Вырезать можно любой такой квадрат на доске, то есть любые 2×2 части, которые полностью входят в доску.
Шаг 1: Как устроена раскраска?
- Каждая 3×3 часть, разбитая по доске, — это один "квадрат", который окрашен в чередующемся шахматном порядке.
- Начинаем с верхнего левого квадрата, который — допустим, черный.
Т.к. доска раскрашена в шахматном порядке, то цвет квадрата (3×3) можно определить по координатам его верхнего левого угла:
Пусть координаты клетки — (i, j), с i, j от 0 до 99 (так как всего 100×100 клеток).
Тогда цвет этого квадрата определяется по формуле:
\[ \text{цвет} = ((i // 3) + (j // 3)) \bmod 2 \]
где 1 — черный, 0 — белый. (или наоборот, не важно, главное чтобы было согласованно).
Шаг 2: Какая раскраска у 2×2 квадрата?
- В 2×2 квадрате из клеток, расположенных, например, так:
\[ \begin{bmatrix} (i, j) & (i, j+1) \\ (i+1, j) & (i+1, j+1) \end{bmatrix} \]
Цвета этих клеток определяются по тому же принципу.
Требование — чтобы 2×2 квадрат имел "фиксированную" раскраску, то есть все четыре клетки соответствовали бы цветам, которые образуются при этом расположении.
Шаг 3: Какие раскраски возможны у 2×2 квадрата?
Рассмотрим, какие варианты могут быть:
Черные и белые клетки чередуются по шахматному принципу.
В 2×2 оригинальном шахматном раскрасе клетки по диагонали часто совпадают по цвету.
Возьмем пример:
\[ \begin{bmatrix} black & white \\ white & black \end{bmatrix} \] или
\[ \begin{bmatrix} white & black \\ black & white \end{bmatrix} \]
Это два возможных варианта раскраски 2×2 квадрата, которые соответствуют шахматному порядку (черные и белые клетки по диагоналям).
Шаг 4: Какие расположения и сколько их?
Поскольку доска чередуется с шагом 3 в координатах, то для определения раскраски каждого отрезка:
Для каждого положения (i, j), где i и j — от 0 до 98 (так как вырезаем по 2 клетки, а поле 300×300).
Вырезая 2×2, получаю:
\[ \text{цвет}(i, j), \quad \text{цвет}(i, j+1), \quad \text{цвет}(i+1, j), \quad \text{цвет}(i+1, j+1) \]
Шаг 5: Когда 2×2 квадраты подходят?
Для фиксированной раскраски, например, для "диагональной черной-белой" раскраски:
\[ \text{цвет}(i, j) = ((i//3) + (j//3)) \bmod 2 \]
тогда:
Верхний левый: цвет = \(A\)
Верхний правый: цвет = \(((i//3) + (j//3) + 1)\bmod 2\)
Нижний левый: то же самое, так как (i+1)//3, (j)//3
Нижний правый: \(((i+1)//3 + (j+1)//3)\bmod 2\)
Важно: чтобы 2×2 блок соответствовал одной из двух возможных схем (черные и белые по диагонали), нужно проверить, что цвета клеток совпадают с этими паттернами.
Итоговая формулировка
Обозначим, что существует только 2 возможных раскраски 2×2 квадрата (по диагоналям черные-белые или белые-черные).
Для каждого положения (i, j) от 0 до 98:
Определим цвета четырех клеток по формуле.
Проверим, совпадает ли раскраска с одной из двух схем.
- Количество таких 2×2 квадратов — это сумма по всей доске.
Итог:
Весь "повтор" раскраски — это чередование по клеткам, основанное на (\(i//3 + j//3\)).
В каждом из 98×98 возможных мест (так как 300-2=298, делим на 1, то есть от 0 до 98), будет либо совпадать, либо нет.
Так как раскраска основывается на делении на 3, и существует только 2 схематичные вариации раскраски (по диагонали черные или белые), количество подходящих квадратиков — это сумма по всей доске.
Итоговая формула:
Количество способов вырезать подходящий 2×2 квадрат (с учетом возможных поворотов):
Так как по условию, можно повернуть квадрат (на 90°, 180°, 270°). Однако, для шахматного шаблона, повороты 90° или 270° меняют раскраску, поэтому:
- В пределах одной раскраски, 2 обоснованные вариации — это разные раскраски без поворота, и повороты 180° — так как при повернутом на 180°, паттерн сохраняется.
В итоге, допустим, существует 2 варианта раскраски (по диагоналям черный-белый и белый-черный).
Для каждого варианта подсчитается число совпадающих позиций, мы выбираем минимум между ними (или считаем каждую отдельно).
Итоговая ответ:
Количество подходящих 2×2 квадратиков:
\[ \boxed{ \text{Общее количество} = \text{число всех подходящих положений} \times (\text{число способов повернуть, сохраняющих раскраску}) } \]
Поскольку:
- Вариант без поворота: все подходящие позиции.
- Поворот на 180° сохраняет раскраску, потому что черные и белые на диагоналях меняются местами, и такая раскраска повторяется.
- Поворот на 90° и 270° меняет паттерн.
Итог:
Количество 2×2 квадратов, укладывающихся в 300×300 доску, с подходящей раскраской (учитывая, что такие квадраты соответствуют двум возможным шахматным шаблонам), равно:
\[ \boxed{ 2 \times (98 \times 98) } \]
так как:
- Всего позиций — 98×98,
- есть 2 варианта раскраски по диагонали.
Финальный ответ:
Ответ: \(\boxed{2 \times 98 \times 98 = 19208}\)
Если нужно точное число с учетом особенностей возможных поворотов, достаточно умножить 98×98 на 2.
Если имеются дополнительные уточнения или вопросы, можете задать!
