Дайте ответы на поставленные вопросы

Давайте подробно решим каждую из поставленных задач: --- **Задача 1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bₙ), если b₁ = 125, q = 1/5** **Решение:** Формула n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Подставим данные: \[ b_5 = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{5-1} = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4 \] Вычислим \(\left(\frac{1}{5}\right)^4\): \[ \left(\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625} \] Теперь: \[ b_5 = 125 \cdot \frac{1}{625} \] Упростим: \[ 125 / 625 = 1/5 \] **Ответ:** \[ \boxed{\frac{1}{5}} \] --- **Задача 2. Первый член прогрессии равен 3, знаменатель 4. Найдите сумму первых четырёх членов.** **Решение:** Для геометрической прогрессии сумма первых n членов: \[ S_n = b_1 \frac{q^n -1}{q - 1} \] Подставим значения: \[ S_4 = 3 \cdot \frac{4^4 - 1}{4 - 1} \] Вычислим: \[ 4^4 = 256 \] Тогда: \[ S_4 = 3 \cdot \frac{256 - 1}{3} = 3 \cdot \frac{255}{3} \] Упростим: \[ 3 \cdot 85 = 255 \] **Ответ:** \[ \boxed{255} \] --- **Задача 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с сумой 60, если первые четыре члена: 60, -30, 15, ...** **Решение:** Обозначим: \[ S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} \] Известно, \[ S_{\infty} = 60 \], \[ b_1 = 60 \]. Найдем q: Верно, \[ S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} \Rightarrow 60 = \frac{60}{1 - q} \] Это уравнение: \[ 1 - q = 1 \Rightarrow q = 0 \] Но посмотрим на первые четыре члена: \[ b_1 = 60 \] \[ b_2 = -30 \] \[ b_3 = 15 \] Интуитивно, \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-30}{60} = -0.5 \] Проверим: \[ \frac{b_3}{b_2} = \frac{15}{-30} = -0.5 \] — совпадает. Также, сумма бесконечной прогрессии: \[ S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{60}{1 - (-0.5)} = \frac{60}{1 + 0.5} = \frac{60}{1.5} = 40 \] Но есть противоречие: в условии сумма бесконечной прогрессии равна 60, а по расчетам получается 40. Поэтому нужно уточнить: Если сумма бесконечной прогрессии равна 60, а первый член 60, то: \[ 60 = \frac{60}{1 - q} \Rightarrow 1 - q = 1 \Rightarrow q=0 \] — что невозможно, так как тогда прогрессия будет постоянной. Вероятно, в условии говорится о сумме первых n членов или нужно учесть, что сумма 60 это сумма первых нескольких или бесконечных с учетом знаков. Однако, судя по услуге и скорее всего, правильный q — это \(-0.5\). Тогда сумма бесконечной прогрессии с q = -0.5 и b₁=60: \[ S_\infty = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{60}{1 - (-0.5)} = \frac{60}{1 + 0.5} = 40 \] Это скорее всего, опечатка или нехватка данных. **Общий вывод:** Если принять, что сумма бесконечной прогрессии равна 60 и b₁=60, то знаменатель q нужно найти из уравнения: \[ 60 = \frac{60}{1 - q} \Rightarrow 1 - q = 1 \Rightarrow q=0 \] Но если q=0, то все члены, начиная со второго, равны нулю, и сумма будет равна только первому члену — 60. Тогда сумма первых членов равна: \[ 60 + 0 + 0 + 0 + ... = 60 \] Это соответствует условию. **Ответ:** \[ \boxed{\text{Значит, , сумма бесконечной прогрессии равна 60, при }q=0 \text{, а сумма первых четырех — также }60.\]} --- Если нужно более точное решение по конкретным вопросам или есть уточнения — скажите!