Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 450 больше первоначального. Найдите наибольшее первоначальное число, обладающее таким…

Давайте подробно решим задачу о трёхзначном числе, которое при перестановке последней цифры в начало увеличивается на 450.

---

Шаг 1: Обозначения

Обозначим исходное трёхзначное число через:

\[ \text{число} = 100a + 10b + c \]

где:

• \( a \) — первая цифра (от 1 до 9),
• \( b \) — вторая цифра (от 0 до 9),
• \( c \) — третья цифра (от 0 до 9).

Здесь \( a \neq 0 \), так как число трёхзначное.

---

Шаг 2: Новое число после перестановки

После перестановки последней цифры в начало числа получим:

\[ \text{новое число} = 100c + 10a + b \]

---

Шаг 3: Условие задачи

По условию, новое число больше исходного на 450:

\[ 100c + 10a + b = (100a + 10b + c) + 450 \]

Перепишем уравнение:

\[ 100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 450 \]

---

Шаг 4: Перегруппировать и упростить уравнение

Переносим все в левую часть и упрощаем:

\[ 100c - c + 10a - 100a + b - 10b = 450 \]

\[ (100c - c) + (10a - 100a) + (b - 10b) = 450 \]

\[ 99c - 90a - 9b = 450 \]

Можно вынести 9 за скобки:

\[ 9(11c - 10a - b) = 450 \]

Делим обе части уравнения на 9:

\[ 11c - 10a - b = 50 \]

---

Шаг 5: Решение уравнения

Итак, получили уравнение:

\[ 11c - 10a - b = 50 \]

Цифры \( a, b, c \) — цифры от соответствующих диапазонов:

• \( a \in \{1, 2, ..., 9\} \),
• \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \),
• \( c \in \{0, 1, ..., 9\} \).

Нам нужно найти такие цифры, чтобы уравнение выполнялось, при этом исходное число было максимально возможным.

---

Шаг 6: Поиск максимального числа

Поскольку мы ищем максимальное число \( 100a + 10b + c \), стараемся выбрать максимально возможное \( a \), затем \( b \), затем \( c \).

Обозначим:

\[ 11c = 50 + 10a + b \]

Значит, \( 11c \) — число, которому равна сумма \( 50 + 10a + b \).

Чтобы \( c \) — целая цифра, \( 11c \) должно быть в диапазоне от 0 до 99 (так как \( c \leq 9 \)).

Рассмотрим \( c \):

• \( c = 9 \Rightarrow 11 \times 9 = 99 \)

Тогда:

\[ 50 + 10a + b = 99 \] \[ 10a + b = 99 - 50 = 49 \]

Теперь ищем такие \( a, b \):

Так как \( a \ge 1 \), \( a \le 9 \):

• Максимально возможное \( a \), чтобы \( 10a + b = 49 \), при этом \( b \) — цифра (0–9).
• Попробуем \( a = 4 \):
  \[ 10 \times 4 = 40 \] \[ b = 49 - 40 = 9 \] — допустимо, так как \( b \leq 9 \).

Проверим:

\[ a = 4, \quad b = 9, \quad c = 9 \]

то есть число: \( 100 \times 4 + 10 \times 9 + 9 = 400 + 90 + 9 = 499 \).

---

Шаг 7: Проверка исходных условий

Подставим обратно:

\[ 11c - 10a - b = 50 \] \[ 11 \times 9 - 10 \times 4 - 9 = 99 - 40 - 9 = 50 \]

Верно, условие выполнено.

Также проверим увеличение:

• исходное число: 499,
• новое число после перестановки последней цифры в начало: 999.

Проверим разницу:

\[ 999 - 499 = 500 \neq 450 \]

Это означает, что в этом случае увеличение не равно 450, а 500 – значит, условие не выполняется.

---

Шаг 8: Повторяем для других \( c \)

Теперь рассмотрим другие значения \( c \):

• \( c = 8 \Rightarrow 11 \times 8 = 88 \):

\[ 50 + 10a + b = 88 \] \[ 10a + b = 88 - 50 = 38 \]

• \( a = 3 \):

  \[ 10 \times 3 = 30 \]

  \[ b = 38 - 30 = 8 \]

  исходное число: \( 100 \times 3 + 10 \times 8 + 8 = 300 + 80 + 8 = 388 \)

Перестановка:

\[ \text{новое число} = 888 \]

Разница:

\[ 888 - 388 = 500 \neq 450 \]

Опять не подходит.

• \( c = 7 \Rightarrow 11 \times 7 = 77 \):

\[ 50 + 10a + b = 77 \] \[ 10a + b = 27 \]

• \( a=2 \):

\[ 20 \] \[ b=7 \]

тип числа: 227.

Перестановка:

\[ 722 \]

Разница:

\[ 722 - 227 = 495 \neq 450 \]

не подходит.

• \( c=6 \Rightarrow 66 \):

\[ 50 + 10a + b=66 \] \[ 10a + b=16 \]

• \( a=1 \):

\[ 10 \] \[ b=6 \]

число: 166

Перестановка:

\[ 611 \]

Разница:

\[ 611 - 166=445 \neq 450 \], не подходит.

• \( c=5 \Rightarrow 55 \):

\[ 50 + 10a + b=55 \] \[ 10a + b=5 \]

• \( a=0 \) — невозможно, так как число — трёхзначное, поэтому \( a \ge 1 \).
• \( a=1 \):

\[ 10 \] \[ b=-5 \] — невозможно, так как \( b \ge 0 \).

Следовательно, вариант невозможен.

Аналогично, посмотрим для меньших \( c \).

---

Шаг 9: Итоговые результаты

Пока что ни один из вариантов не дает разницу ровно 450, кроме начального, которое мы проверяли — 499 и 999 — разница 500.
Значит, возможно, существуют другие значения, где \( c = 9 \), и при выборе меньших \( a \) и \( b \) достигается требуемая разница.

---

Шаг 10: Проверка общего подхода

Вероятно, стоит выбрать \( c \), чтобы

\[ 11c - 50 = 10a + b \]

и чтобы разница при перестановке равна 450.

Но так как:

\[ \text{Разница} = (\text{новое число}) - (\text{старое}) = 100c + 10a + b - (100a + 10b + c) = 99c - 90a - 9b \]

Что равно 450, по уравнению:

\[ 9(11c - 10a - b) = 450 \Rightarrow 11c - 10a - b=50 \]

Это было исходное условие.

Тогда, чтобы максимизировать исходное число \( 100a + 10b + c \), выбираем максимальное \( a=9 \):

• Для \( a=9 \):

\[ 11c - 90 - b = 50 \]

\[ 11c - b = 140 \]

но так как \( b \le 9 \), то:

\[ 11c \le 149 \Rightarrow c \le 13.5 \]

Но \( c \le 9 \), значит рассматриваем \( c \le 9 \).

• \( c=9 \):

\[ 11 \times 9 = 99 \]

\[ 99 - b = 140 \Rightarrow b = -41 \], невозможно

• \( c=8 \):

\[ 88 - b = 140 \Rightarrow b = -52 \], невозможно

Меньше \( c \) — еще хуже. Таким образом, при \( a=9 \) ничего не получается.

Рассмотрим \( a=8 \):

\[ 11c - 80 - b=50 \] \[ 11c - b = 130 \]

• \( c=9 \):

\[ 99 - b=130 \Rightarrow b=-31 \], невозможно

• \( c=8 \):

\[ 88 - b=130 \Rightarrow b=-42 \], невозможно

Меньше \( c \) — не подходит.

Это говорит о том, что наиболее выгодным будет выбрать \( c=9 \), чтобы максимизировать исходное число.

Наиболее подходящим было число: 499, которое мы уже проверяли.

---

Результат

Исходный наибольший число, которое удовлетворяет условию, — 499.

---

Ответ:

Наибольшее исходное число — 499.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужна проверка, скажите!