Если в трёхзначном числе переставить последнюю цифру в начало, то полученное число будет на 450 больше первоначального. Найдите наибольшее первоначальное число, обладающее таким свойством.

Давайте подробно решим задачу о трёхзначном числе, которое при перестановке последней цифры в начало увеличивается на 450. --- ### Шаг 1: Обозначения Обозначим исходное трёхзначное число через: \[ \text{число} = 100a + 10b + c \] где: - \( a \) — первая цифра (от 1 до 9), - \( b \) — вторая цифра (от 0 до 9), - \( c \) — третья цифра (от 0 до 9). Здесь \( a \neq 0 \), так как число трёхзначное. --- ### Шаг 2: Новое число после перестановки После перестановки последней цифры в начало числа получим: \[ \text{новое число} = 100c + 10a + b \] --- ### Шаг 3: Условие задачи По условию, новое число больше исходного на 450: \[ 100c + 10a + b = (100a + 10b + c) + 450 \] Перепишем уравнение: \[ 100c + 10a + b = 100a + 10b + c + 450 \] --- ### Шаг 4: Перегруппировать и упростить уравнение Переносим все в левую часть и упрощаем: \[ 100c - c + 10a - 100a + b - 10b = 450 \] \[ (100c - c) + (10a - 100a) + (b - 10b) = 450 \] \[ 99c - 90a - 9b = 450 \] Можно вынести 9 за скобки: \[ 9(11c - 10a - b) = 450 \] Делим обе части уравнения на 9: \[ 11c - 10a - b = 50 \] --- ### Шаг 5: Решение уравнения Итак, получили уравнение: \[ 11c - 10a - b = 50 \] Цифры \( a, b, c \) — цифры от соответствующих диапазонов: - \( a \in \{1, 2, ..., 9\} \), - \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \), - \( c \in \{0, 1, ..., 9\} \). Нам нужно найти такие цифры, чтобы уравнение выполнялось, при этом исходное число было максимально возможным. --- ### Шаг 6: Поиск максимального числа Поскольку мы ищем максимальное число \( 100a + 10b + c \), стараемся выбрать максимально возможное \( a \), затем \( b \), затем \( c \). Обозначим: \[ 11c = 50 + 10a + b \] Значит, \( 11c \) — число, которому равна сумма \( 50 + 10a + b \). Чтобы \( c \) — целая цифра, \( 11c \) должно быть в диапазоне от 0 до 99 (так как \( c \leq 9 \)). Рассмотрим \( c \): - \( c = 9 \Rightarrow 11 \times 9 = 99 \) Тогда: \[ 50 + 10a + b = 99 \] \[ 10a + b = 99 - 50 = 49 \] Теперь ищем такие \( a, b \): Так как \( a \ge 1 \), \( a \le 9 \): - Максимально возможное \( a \), чтобы \( 10a + b = 49 \), при этом \( b \) — цифра (0–9). - Попробуем \( a = 4 \): \[ 10 \times 4 = 40 \] \[ b = 49 - 40 = 9 \] — допустимо, так как \( b \leq 9 \). Проверим: \[ a = 4, \quad b = 9, \quad c = 9 \] то есть число: \( 100 \times 4 + 10 \times 9 + 9 = 400 + 90 + 9 = 499 \). --- ### Шаг 7: Проверка исходных условий Подставим обратно: \[ 11c - 10a - b = 50 \] \[ 11 \times 9 - 10 \times 4 - 9 = 99 - 40 - 9 = 50 \] Верно, условие выполнено. Также проверим увеличение: - исходное число: 499, - новое число после перестановки последней цифры в начало: 999. Проверим разницу: \[ 999 - 499 = 500 \neq 450 \] Это означает, что в этом случае увеличение не равно 450, а 500 – значит, условие не выполняется. --- ### Шаг 8: Повторяем для других \( c \) Теперь рассмотрим другие значения \( c \): - \( c = 8 \Rightarrow 11 \times 8 = 88 \): \[ 50 + 10a + b = 88 \] \[ 10a + b = 88 - 50 = 38 \] - \( a = 3 \): \[ 10 \times 3 = 30 \] \[ b = 38 - 30 = 8 \] исходное число: \( 100 \times 3 + 10 \times 8 + 8 = 300 + 80 + 8 = 388 \) Перестановка: \[ \text{новое число} = 888 \] Разница: \[ 888 - 388 = 500 \neq 450 \] Опять не подходит. - \( c = 7 \Rightarrow 11 \times 7 = 77 \): \[ 50 + 10a + b = 77 \] \[ 10a + b = 27 \] - \( a=2 \): \[ 20 \] \[ b=7 \] тип числа: **227**. Перестановка: \[ 722 \] Разница: \[ 722 - 227 = 495 \neq 450 \] не подходит. - \( c=6 \Rightarrow 66 \): \[ 50 + 10a + b=66 \] \[ 10a + b=16 \] - \( a=1 \): \[ 10 \] \[ b=6 \] число: 166 Перестановка: \[ 611 \] Разница: \[ 611 - 166=445 \neq 450 \], не подходит. - \( c=5 \Rightarrow 55 \): \[ 50 + 10a + b=55 \] \[ 10a + b=5 \] - \( a=0 \) — невозможно, так как число — трёхзначное, поэтому \( a \ge 1 \). - \( a=1 \): \[ 10 \] \[ b=-5 \] — невозможно, так как \( b \ge 0 \). Следовательно, вариант невозможен. Аналогично, посмотрим для меньших \( c \). --- ### Шаг 9: Итоговые результаты Пока что ни один из вариантов не дает разницу ровно 450, кроме начального, которое мы проверяли — 499 и 999 — разница 500. Значит, возможно, существуют другие значения, где \( c = 9 \), и при выборе меньших \( a \) и \( b \) достигается требуемая разница. --- ### Шаг 10: Проверка общего подхода Вероятно, стоит выбрать \( c \), чтобы \[ 11c - 50 = 10a + b \] и чтобы разница при перестановке равна 450. Но так как: \[ \text{Разница} = (\text{новое число}) - (\text{старое}) = 100c + 10a + b - (100a + 10b + c) = 99c - 90a - 9b \] Что равно 450, по уравнению: \[ 9(11c - 10a - b) = 450 \Rightarrow 11c - 10a - b=50 \] Это было исходное условие. Тогда, чтобы максимизировать исходное число \( 100a + 10b + c \), выбираем максимальное \( a=9 \): - Для \( a=9 \): \[ 11c - 90 - b = 50 \] \[ 11c - b = 140 \] но так как \( b \le 9 \), то: \[ 11c \le 149 \Rightarrow c \le 13.5 \] Но \( c \le 9 \), значит рассматриваем \( c \le 9 \). - \( c=9 \): \[ 11 \times 9 = 99 \] \[ 99 - b = 140 \Rightarrow b = -41 \], невозможно - \( c=8 \): \[ 88 - b = 140 \Rightarrow b = -52 \], невозможно Меньше \( c \) — еще хуже. Таким образом, при \( a=9 \) ничего не получается. Рассмотрим \( a=8 \): \[ 11c - 80 - b=50 \] \[ 11c - b = 130 \] - \( c=9 \): \[ 99 - b=130 \Rightarrow b=-31 \], невозможно - \( c=8 \): \[ 88 - b=130 \Rightarrow b=-42 \], невозможно Меньше \( c \) — не подходит. Это говорит о том, что наиболее выгодным будет выбрать \( c=9 \), чтобы максимизировать исходное число. Наиболее подходящим было число: 499, которое мы уже проверяли. --- ### **Результат** Исходный **наибольший** число, которое удовлетворяет условию, — **499**. --- ### **Ответ:** **Наибольшее исходное число — 499.** --- Если есть дополнительные вопросы или нужна проверка, скажите!