9. Сравните f(36/(8 - 2sqrt(7))) и f(8 - 2sqrt(7)) если f(x) = sqrt(x)
Давайте подробно решим задачу. У нас есть функция \( f(x) = \sqrt{x} \), и нужно сравнить \( f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) \) и \( f(8 - 2\sqrt{7}) \).
Шаг 1: Упростим каждое выражение
Первое выражение: \( f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) \)
Значит, нужно найти значение
\[ f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) = \sqrt{ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} } \]
Чтобы упростить внутреннее выражение, сначала упростим дробь:
\[ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \]
Шаг 2: Рационализируем знаменатель
Дробь содержит иррациональное выражение в знаменателе. Для удобства рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к \( 8 - 2\sqrt{7} \), то есть \( 8 + 2\sqrt{7} \).
\[ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \times \frac{8 + 2\sqrt{7}}{8 + 2\sqrt{7}} = \frac{36(8 + 2\sqrt{7})}{(8 - 2\sqrt{7})(8 + 2\sqrt{7})} \]
Шаг 3: Упростим знаменатель
Используем формулу разности квадратов:
\[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]
В нашем случае:
\[ 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \times 7 = 64 - 28 = 36 \]
Итак, знаменатель равен 36.
Теперь числитель:
\[ 36(8 + 2\sqrt{7}) = 36 \times 8 + 36 \times 2\sqrt{7} = 288 + 72 \sqrt{7} \]
Получаем:
\[ \frac{288 + 72 \sqrt{7}}{36} \]
Шаг 4: Упростим дробь
Делим числитель и знаменатель на 36:
\[ \frac{288}{36} + \frac{72 \sqrt{7}}{36} = 8 + 2 \sqrt{7} \]
Итак,
\[ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} = 8 + 2 \sqrt{7} \]
Шаг 5: Найдём значение первого выражения
Вернёмся к исходной функции:
\[ f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) = \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} \]
Шаг 6: Упростим \( \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} \)
Выразим подкоренное выражение в виде квадрата суммы или разности, то есть найдём числа \(a\) и \(b\), такие что:
\[ 8 + 2 \sqrt{7} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \]
Раскроем скобки:
\[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2 \sqrt{ab} \]
Это должно равняться \( 8 + 2 \sqrt{7} \), следовательно:
\[ a + b = 8 \] \[ 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{7} \]
Рассмотрим второе уравнение:
\[ 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{7} \Rightarrow ab = 7 \]
Теперь решим систему:
\[ a + b = 8 \] \[ ab = 7 \]
Это уравнение для чисел \(a\) и \(b\). Их можно найти как корни квадратного уравнения:
\[ x^2 - (a + b) x + ab = 0 \] \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \times 7}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ x = \frac{8 \pm 6}{2} \]
Получаем два решения:
- \( x = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- \( x = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Следовательно, \(a\) и \(b\) равны 1 и 7 (или наоборот). Тогда:
\[ 8 + 2 \sqrt{7} = (\sqrt{7} + \sqrt{1})^2 \]
Поскольку \(\sqrt{1} = 1\), то:
\[ (\sqrt{7} + 1)^2 = 7 + 1 + 2 \sqrt{7} = 8 + 2 \sqrt{7} \]
Значит,
\[ \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} = \sqrt{7} + 1 \]
Итог для первого выражения:
\[ f\left(\frac{36}{8 - 2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} = \sqrt{7} + 1 \]
Шаг 7: Значение второго выражения
Теперь сравним его со вторым выражением \(f(8 - 2\sqrt{7})\):
\[ f(8 - 2 \sqrt{7}) = \sqrt{8 - 2 \sqrt{7}} \]
Проведем аналогичный анализ. Пусть:
\[ 8 - 2 \sqrt{7} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \]
Раскроем скобки:
\[ a + b - 2 \sqrt{ab} \]
Это равно:
\[ 8 - 2 \sqrt{7} \]
Отсюда:
\[ a + b = 8 \] \[ 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{7} \Rightarrow ab = 7 \]
как и раньше. Значит, возможные значения \(a\) и \(b\) — 1 и 7.
Теперь посмотрим, подходит ли выражение:
\[ 8 - 2 \sqrt{7} = (\sqrt{7} - 1)^2 \]
Проверим:
\[ (\sqrt{7} - 1)^2 = 7 + 1 - 2 \sqrt{7} = 8 - 2 \sqrt{7} \]
Это точно. Тогда:
\[ \sqrt{8 - 2 \sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1 \]
Итог:
- \( f\left(\frac{36}{8 - 2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{7} + 1 \)
- \( f(8 - 2 \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1 \)
Ответ:
\[ \boxed{ \sqrt{7} + 1 > \sqrt{7} - 1 } \]
Следовательно, первое значение больше второго.
Итверджение:
\[ f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) > f(8 - 2\sqrt{7}) \]
Если есть вопросы или нужно более развернутое объяснение — обращайтесь!
