9. Сравните f(36/(8 - 2sqrt(7))) и f(8 - 2sqrt(7)) если f(x) = sqrt(x)

Давайте подробно решим задачу. У нас есть функция \( f(x) = \sqrt{x} \), и нужно сравнить \( f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) \) и \( f(8 - 2\sqrt{7}) \). --- ### Шаг 1: Упростим каждое выражение #### Первое выражение: \( f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) \) Значит, нужно найти значение \[ f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) = \sqrt{ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} } \] Чтобы упростить внутреннее выражение, сначала упростим дробь: \[ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \] --- ### Шаг 2: Рационализируем знаменатель Дробь содержит иррациональное выражение в знаменателе. Для удобства рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к \( 8 - 2\sqrt{7} \), то есть \( 8 + 2\sqrt{7} \). \[ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \times \frac{8 + 2\sqrt{7}}{8 + 2\sqrt{7}} = \frac{36(8 + 2\sqrt{7})}{(8 - 2\sqrt{7})(8 + 2\sqrt{7})} \] --- ### Шаг 3: Упростим знаменатель Используем формулу разности квадратов: \[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \] В нашем случае: \[ 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \times 7 = 64 - 28 = 36 \] Итак, знаменатель равен 36. Теперь числитель: \[ 36(8 + 2\sqrt{7}) = 36 \times 8 + 36 \times 2\sqrt{7} = 288 + 72 \sqrt{7} \] Получаем: \[ \frac{288 + 72 \sqrt{7}}{36} \] --- ### Шаг 4: Упростим дробь Делим числитель и знаменатель на 36: \[ \frac{288}{36} + \frac{72 \sqrt{7}}{36} = 8 + 2 \sqrt{7} \] Итак, \[ \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} = 8 + 2 \sqrt{7} \] --- ### Шаг 5: Найдём значение первого выражения Вернёмся к исходной функции: \[ f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) = \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} \] --- ### Шаг 6: Упростим \( \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} \) Выразим подкоренное выражение в виде квадрата суммы или разности, то есть найдём числа \(a\) и \(b\), такие что: \[ 8 + 2 \sqrt{7} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \] Раскроем скобки: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2 \sqrt{ab} \] Это должно равняться \( 8 + 2 \sqrt{7} \), следовательно: \[ a + b = 8 \] \[ 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{7} \] Рассмотрим второе уравнение: \[ 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{7} \Rightarrow ab = 7 \] Теперь решим систему: \[ a + b = 8 \] \[ ab = 7 \] Это уравнение для чисел \(a\) и \(b\). Их можно найти как корни квадратного уравнения: \[ x^2 - (a + b) x + ab = 0 \] \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \] Решим это уравнение: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \times 7}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm 6}{2} \] Получаем два решения: - \( x = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) - \( x = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) Следовательно, \(a\) и \(b\) равны 1 и 7 (или наоборот). Тогда: \[ 8 + 2 \sqrt{7} = (\sqrt{7} + \sqrt{1})^2 \] Поскольку \(\sqrt{1} = 1\), то: \[ (\sqrt{7} + 1)^2 = 7 + 1 + 2 \sqrt{7} = 8 + 2 \sqrt{7} \] Значит, \[ \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} = \sqrt{7} + 1 \] --- ### Итог для первого выражения: \[ f\left(\frac{36}{8 - 2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{8 + 2 \sqrt{7}} = \sqrt{7} + 1 \] --- ### Шаг 7: Значение второго выражения Теперь сравним его со вторым выражением \(f(8 - 2\sqrt{7})\): \[ f(8 - 2 \sqrt{7}) = \sqrt{8 - 2 \sqrt{7}} \] Проведем аналогичный анализ. Пусть: \[ 8 - 2 \sqrt{7} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \] Раскроем скобки: \[ a + b - 2 \sqrt{ab} \] Это равно: \[ 8 - 2 \sqrt{7} \] Отсюда: \[ a + b = 8 \] \[ 2 \sqrt{ab} = 2 \sqrt{7} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{7} \Rightarrow ab = 7 \] как и раньше. Значит, возможные значения \(a\) и \(b\) — 1 и 7. Теперь посмотрим, подходит ли выражение: \[ 8 - 2 \sqrt{7} = (\sqrt{7} - 1)^2 \] Проверим: \[ (\sqrt{7} - 1)^2 = 7 + 1 - 2 \sqrt{7} = 8 - 2 \sqrt{7} \] Это точно. Тогда: \[ \sqrt{8 - 2 \sqrt{7}} = \sqrt{7} - 1 \] --- ### Итог: - \( f\left(\frac{36}{8 - 2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{7} + 1 \) - \( f(8 - 2 \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1 \) --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \sqrt{7} + 1 > \sqrt{7} - 1 } \] Следовательно, **первое значение больше второго**. **Итверджение:** \[ f\left( \frac{36}{8 - 2\sqrt{7}} \right) > f(8 - 2\sqrt{7}) \] --- Если есть вопросы или нужно более развернутое объяснение — обращайтесь!