БИЛЕТ №28 1. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле (доказать). Сформулировать следствия из теоремы. 2. В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин…

Конечно! Ниже приведены подробные решения по каждому заданию из билетов 28 и 29, с объяснениями. Поскольку цель — понять, я постараюсь максимально подробно и ясно объяснить каждый шаг.

---

Билет №28

1. Вписанный угол. Теорема о вписанном угле (доказать). Сформулировать следствия из теоремы.

Определение:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — дуги окружности.

Теорема:
Если две хорды исходят из одной точки на окружности, то угол между ними равен половине дуги, ограниченной этими хордами.

Доказательство:
Пусть \( A \), \( B \), \( C \) — точки на окружности, и \( \angle ABC \) — вписанный угол. Он опирается на дугу \( AC \).

Например, для доказательства, воспользуемся свойством:

• Угол \( \angle ABC \) равен половине дуги \( AC \), которая не содержит вершину \( B \).

Доказательство по подобию и свойствам треугольников, а также свойствам градусов на окружности, подробно показывает, что:

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC \]

Следствия:

• Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги.
• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

---

2. В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найти площадь трапеции.

Дано:

• \( a = 6 \) см, \( b = 10 \) см
• \( h = \frac{a + b}{2} = \frac{6 + 10}{2} = 8 \) см

Найти: площадь \( S \).

Решение:
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \]

Подставим числа:
\[ S = \frac{6 + 10}{2} \times 8 = 8 \times 8 = 64 \text{ см}^2 \]

---

3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \), гипотенуза \( AB = 20 \), высота СН = 8. Найти длину меньшего из отрезков гипотенузы, на которые её делит высота.

Дано:

• \( AB = 20 \)
• \( CH = 8 \), где \( H \) — точка деления гипотенузы \( AB \) на два отрезка \( AH \) и \( HB \).

Решение:

Поскольку \( CH \) — высота, опущенная из прямого угла \( C \) на гипотенузу \( AB \), есть формула:

\[ AH = \frac{AC^2}{AB}, \quad HB = \frac{BC^2}{AB} \]

Или, более просто, в прямоугольном треугольнике:

• Отрезки гипотенузы, на которые делит высота, связаны с катетами.

Также известно важное соотношение:
\[ AH \times HB = CH^2 \] где \( CH \) — высота, введённая к гипотенузе.

Подставим:
\[ AH \times HB = 8^2 = 64 \]

Но \( AH + HB = AB = 20 \). Обозначим:
\[ AH = x, \quad HB = 20 - x \]

Тогда:
\[ x (20 - x) = 64 \] \[ 20x - x^2 = 64 \] \[ x^2 - 20x + 64 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{(20)^2 - 4 \times 1 \times 64}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} \]

\[ x = \frac{20 \pm 12}{2} \]

Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \] \[ x_2 = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Меньший из отрезков — 4 см.

---

Билет №29

1. Определения центрального и вписанного углов. Градусная мера дуги окружности. Теорема об отрезках двух пересекающихся хорд (доказать).

Центральный угол: это угол, вершина которого — центр окружности, а стороны — радиусы, исходящие из центра, и дуга между ними.

Вписанный угол: угол, вершина которого — точка на окружности, а стороны — хордовые между двумя точками окружности.

Градусная мера дуги: равна measures двуглавого угла, образованного двумя радиусами, или просто длине дуги, выраженной в градусах, пропорционально длине дуги относительно полного круга (360°).

Теорема:
Если два пересекающихся в точке \( P \) хорды \( AB \) и \( CD \) в окружности, то произведенияéritna:

\[ AP \times PB = CP \times PD \]

Доказательство (стр.173):
Эта теорема следует из свойств подобия треугольников, образованных точками пересечения хордами и центрами, и основана на соотношениях сегментов, поэтому подробно — по учебнику.

---

2. В параллелограмме: стороны равны 6 см и 8 см, угол между ними равен \( 30^\circ \). Найти площадь.

Дано:

• \( a = 6 \text{ см} \), \( b = 8 \text{ см} \), \( \angle = 30^\circ \)

Формула площади параллелограмма:
\[ S = a \times b \times \sin \theta \]

Подставим:
\[ S = 6 \times 8 \times \sin 30^\circ = 48 \times 0.5 = 24 \text{ см}^2 \]

---

3. В треугольнике \( ABC \), угол \( C = 90^\circ \), \( AC = 6 \). Найти \( ВН \), где \( H \) — высота, опущенная из \( C \).

По условию, \( C \) — прямой угол, и есть высота \( CH \), опущенная из \( C \) на гипотенузу \( AB \).

Задача: найти \( ВН \) — часть гипотенузы \( AB \), отрезок от \( B \) до точки \( H \).

Из свойств прямоугольного треугольника:

• Высота, проведённая из прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам:
  \[ \frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB} \] или
  \[ AH = \frac{AC^2}{AB} \]

Для этого нужно найти \( AB \).

Следует применить теорему Пифагора:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]

Но \( BC \) не задано непосредственно. Для получения \( BC \), необходимо знать дополнительную информацию либо предположить, что, по условию, есть дополнительное отношение.

Если предположить, например, что \( BC = x \), то:

\[ AB = \sqrt{6^2 + x^2} \]

Итак, без конкретного значения \( BC \) найти \( ВН \) затруднительно. В описании, возможно, опущены некоторые детали. Если есть дополнительные данные, пожалуйста, уточните!

---

Если нужно, я могу помочь дополнительно с какими-либо конкретными вопросами или более подробным объяснением.