Рассмотрим задачу: в треугольнике ABC угол C равен 60°, сторона AB равна 10/3. Требуется найти радиус описанной окружности (окружности, которая проходит через все три вершины треугольника).
Обозначим:
- ( \angle C = 60^\circ )
- ( AB = c = \frac{10}{3} )
- Ищем радиус окружности ( R ).
Шаг 1. Запишем известные формулы
Радиус описанной окружности ( R ) в треугольнике можно найти по формуле:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где:
- ( a, b, c ) — стороны треугольника,
- ( S ) — его площадь.
Но нам неизвестны остальные стороны и площадь, поэтому применим другую формулу, связанная с углами и сторонами.
Шаг 2. Формула с помощью сторон и углов
Известно, что в треугольнике радиус описанной окружности связан с двумя сторонами и уголком между ними:
[
R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}
]
Поскольку нам известен угол ( C ) и сторона ( AB = c ), применим формулу:
[
R = \frac{c}{2 \sin C}
]
Поскольку
[
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
подставим значения:
[
R = \frac{\frac{10}{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{10}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10}{3 \sqrt{3}}
]
Шаг 3. Упростим результат
Рассмотрим выражение:
[
R = \frac{10}{3 \sqrt{3}}
]
Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножим numerator и denominator на ( \sqrt{3} ):
[
R = \frac{10 \times \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3 \times 3} = \frac{10 \sqrt{3}}{9}
]
Ответ:
[
\boxed{
R = \frac{10 \sqrt{3}}{9}
}
]
Это — радиус описанной окружности треугольника ABC, где угол C равен 60°, а сторона AB равна 10/3.
