В треугольнике АВС угол С равен 60°. АВ - 10./3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Рассмотрим задачу: в треугольнике ABC угол C равен 60°, сторона AB равна 10/3. Требуется найти радиус описанной окружности (окружности, которая проходит через все три вершины треугольника).
Обозначим:
- \( \angle C = 60^\circ \)
- \( AB = c = \frac{10}{3} \)
- Ищем радиус окружности \( R \).
Шаг 1. Запишем известные формулы
Радиус описанной окружности \( R \) в треугольнике можно найти по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где:
- \( a, b, c \) — стороны треугольника,
- \( S \) — его площадь.
Но нам неизвестны остальные стороны и площадь, поэтому применим другую формулу, связанная с углами и сторонами.
Шаг 2. Формула с помощью сторон и углов
Известно, что в треугольнике радиус описанной окружности связан с двумя сторонами и уголком между ними: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C} \]
Поскольку нам известен угол \( C \) и сторона \( AB = c \), применим формулу: \[ R = \frac{c}{2 \sin C} \]
Поскольку \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] подставим значения: \[ R = \frac{\frac{10}{3}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{10}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10}{3 \sqrt{3}} \]
Шаг 3. Упростим результат
Рассмотрим выражение: \[ R = \frac{10}{3 \sqrt{3}} \]
Чтобы избавиться от иррационального знаменателя, умножим numerator и denominator на \( \sqrt{3} \): \[ R = \frac{10 \times \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3 \times 3} = \frac{10 \sqrt{3}}{9} \]
Ответ:
\[ \boxed{ R = \frac{10 \sqrt{3}}{9} } \]
Это — радиус описанной окружности треугольника ABC, где угол C равен 60°, а сторона AB равна 10/3.
