AB-общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 4 см, А и B- точки касания. Найдите длину отрезка AB

Давайте подробно разберём задачу и найдём длину отрезка \(AB\). ### В условии у нас есть: - Две окружности, касающиесяся общей касательной \(AB\): - Первая окружность с радиусом \(R_1 = 9\,\text{см}\), с центром \(O_1\). - Вторая окружность с радиусом \(R_2 = 4\,\text{см}\), с центром \(O_2\). - Точки касания \(A\) и \(B\) — касательная к обеим окружностям, эти точки лежат на её поверхности. - Требуется найти длину отрезка \(AB\). --- ### Шаг 1. Понимание ситуации - Общая касательная \(AB\) касается обеих окружностей в точках \(A\) и \(B\). - Внутри (или снаружи) окружностей эти касательные всегда перпендикулярны радиусам, проведённым к точкам касания. --- ### Шаг 2. Визуализация - Пусть касательная \(AB\) касается первой окружности в точке \(A\), а второй — в точке \(B\). - Центры \(O_1\) и \(O_2\) расположены так, что касательная проходит между ними под определённым углом. --- ### Шаг 3. Помощь Геометрической модели - Проведём радиусы \(O_1A\) и \(O_2B\), которые перпендикулярны касательной \(AB\). - Пусть расстояние между центрами \(O_1\) и \(O_2\) — обозначим его как \(d\). --- ### Шаг 4. Нахождение расстояния между центрами \(O_1\) и \(O_2\) - В задаче говорится, что касательная \(AB\) — **общая касательная** к двум окружностям. - Так как касательная касается обеих окружностей и касающаяся их в точках \(A\) и \(B\): - Расстояние между центрами \(O_1\) и \(O_2\) равно сумме их радиусов, потому что касательные внутри внешней — внешние касательные. \[ d = R_1 + R_2 = 9 + 4 = 13\,\text{см} \] --- ### Шаг 5. Геометрическая схема - Проведём прямую \(AB\), которая является внешней касательной. - Обозначим: - \(O_1A \perp AB\), - \(O_2B \perp AB\). - Пусть высота из \(O_1\) и \(O_2\) до касательной \(AB\) — радиусы. - Расстояние между \(O_1\) и \(O_2\) — \(d=13\,\text{см}\). - Условие для внешней касательной: длина касательной, соединяющей две окружности, равна корню из разности квадратов расстояния между центрами и суммы радиусов. --- ### Шаг 6. Формула длины внешней касательной Для двух окружностей с радиусами \(R_1\) и \(R_2\) расстоянием между центрами \(d\), длина внешней касательной \(L\) определяется формулой: \[ L = \sqrt{d^2 - (R_1 - R_2)^2} \] Подставим значения: \[ L = \sqrt{13^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\,\text{см} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ AB = 12\,\text{см} } \] --- Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!