Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71°, 145° найти угол B этого четырехугольника

Рассмотрим четырёхугольник \(ABCD\), у которого стороны \(AB, BC, CD, DA\) имеют вписанные дуги описанной окружности, равные соответственно: \(95^\circ, 49^\circ, 71^\circ, 145^\circ\). Обозначим: - \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — вершины четырехугольника, - \(A', B', C', D'\) — точки на окружности, соответствующие вершинам четырёхугольника (так как четырёхугольник вписан в окружность). Так как дуги, соответствующие сторонам, даны, то: - дуга \(A'B'\) — равна \(95^\circ\), - дуга \(B'C'\) — равна \(49^\circ\), - дуга \(C'D'\) — равна \(71^\circ\), - дуга \(D'A'\) — равна \(145^\circ\). Обратите внимание, что сумма дуг вокруг окружности равна \(360^\circ\): \[ 95^\circ + 49^\circ + 71^\circ + 145^\circ = 360^\circ \] Так как вершины \(A, B, C, D\) вписаны в окружность, они соответствуют точкам на окружности с указанными дугами. --- **Задача: найти угол \(\angle B\) четырёхугольника \(ABCD\).** --- ### Шаг 1: Связь дуги и угла внутри окружности Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине measures этой дуги. - Угол у вершины \(B\), т.е. \(\angle ABC\?), — это вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC\). Чтобы определить \(\angle ABC\), найдем дугу \(A'C'\), на которую опирается этот угол. --- ### Шаг 2: Определение дуги \(A'C'\) Обозначим: - дуга \(A'B'\) — \(95^\circ\), - дуга \(B'C'\) — \(49^\circ\), - дуга \(C'D'\) — \(71^\circ\), - дуга \(D'A'\) — \(145^\circ\). Дуги, соответствующие вершинам, соединяют точки на окружности. Дуга, соответствующая вершина \(A\): - дуга \(A'B'\) — \(95^\circ\), - дуга \(A'D'\) — \(145^\circ\). Поскольку точка \(A'\) — это вершина \(A\), a дуга \(A'B'\) связана со страной \(AB\), то сторона \(AB\) соответствует дуге \(A'B'\). Аналогично для других сторон. --- ### Шаг 3: Внутренние углы и дуги в окружности Вписанный угол, опирaющийся на дугу, равен половине measure этой дуги. Чтобы найти \(\angle ABC\), рассмотрим дугу \(A C\), которая лежит между точками \(A'\) и \(C'\). Заметим: - дуга \(A'C'\) — сумма дуг \(A'B'\) и \(B'C'\): \[ A'B' + B'C' = 95^\circ + 49^\circ = 144^\circ. \] При этом важно понять, какая дуга \(A'C'\) (учитывая кругооборот), и какой угол она образует. --- ### Шаг 4: Определение дуги \(A'C'\) Поскольку сумма дуг по окружности — 360°, то оставшаяся дуга: \[ 360^\circ - 144^\circ = 216^\circ, \] делается деление на два — меньшую и большую дугу между \(A'\) и \(C'\). Вписанный угол \(\angle ABC\) связан с дугой \(A'C'\). --- ### Шаг 5: Расчет угла \(\angle ABC\) Поскольку вершина \(B\), то вписанный угол \(\angle ABC\) опирается на дугу \(A C\). Дуга \(A C\) равна либо 144°, либо 216° — в зависимости от положения. Если считать, что дуга \(A C\) — это меньшая дуга, Тогда: \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \times \text{дуга }A C. \] Поскольку дуга \(A'B' = 95^\circ\), а дуга \(B'C' = 49^\circ\), то дуга между \(A'\) и \(C'\), опирающаяся на вершину \(B\), равна \(A'B' + B'C' = 144^\circ\). --- ### Итог: **Угол \(\angle ABC\) равен половине дуги \(A C\):** \[ \boxed{ \angle ABC = \frac{1}{2} \times 144^\circ = 72^\circ. } \] --- ### **Ответ: \(\boxed{72^\circ}\).**