\sqrt{5.2\cdot3.9\cdot27}
Давайте решим задачу: \(\sqrt{5.2 \cdot 3.9 \cdot 27}\).
Цель — понять, как упростить и вычислить это выражение.
Шаг 1: Упростим подкоренное выражение
Посмотрим, как можно упростить произведение \(5.2 \cdot 3.9 \cdot 27\).
Чтобы упростить вычисления, попробуем представить числа в виде более удобных дробей или целых чисел.
Шаг 2: Разложение множителей
Перепишем числа:
- \(5.2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}\)
- \(3.9 = \frac{39}{10}\)
Таким образом,
\[ 5.2 \cdot 3.9 \cdot 27 = \frac{26}{5} \times \frac{39}{10} \times 27 \]
Шаг 3: Выполним умножение дробей
Запишем всё в виде дроби:
\[ \frac{26 \times 39 \times 27}{5 \times 10} = \frac{26 \times 39 \times 27}{50} \]
Теперь вычислим числитель:
- \(26 \times 39\)
Обозначим это отдельно:
\[ 26 \times 39 = (20 + 6) \times 39 = 20 \times 39 + 6 \times 39 = 780 + 234 = 1014 \]
- Теперь умножим полученное на 27:
\[ 1014 \times 27 \]
Вычислим:
\[ 1014 \times 20 = 20\,280 \] \[ 1014 \times 7 = 7\,098 \]
Складываем:
\[ 20\,280 + 7\,098 = 27\,378 \]
Итог числитель:
\[ 26 \times 39 \times 27 = 27\,378 \]
Таким образом, выражение внутри квадратного корня — это:
\[ \frac{27\,378}{50} \]
Шаг 4: Записать исходный корень
\[ \sqrt{\frac{27\,378}{50}} = \frac{\sqrt{27\,378}}{\sqrt{50}} \]
Шаг 5: Упростим корень из знаменателя
\[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2} \]
Шаг 6: Исследуем числитель \( \sqrt{27\,378} \)
Нужно понять, можно ли упростить \(\sqrt{27\,378}\). Проверим, делится ли 27,378 на квадраты чисел.
Разложим 27,378:
- Попробуем сделать деление или найти делители.
Обратимся к приближенным оценкам — лучше всего попробовать разложить 27,378 на простые множители.
Проверим делимость на 2:
\[ 27\,378 / 2 = 13\,689 \]
Не делится на 2 дальше потому, что цифра 9 — нечётная.
Проверка делимости на 3:
Сумма цифр: \(2 + 7 + 3 + 7 + 8 = 27\)
27 делится на 3, значит и число делится на 3.
Проведём деление:
\[ 27\,378 / 3 = 9\,126 \]
Повторим деление:
\[ 9\,126 / 3 = 3\,042 \]
И снова:
\[ 3\,042 / 3 = 1\,014 \]
Далее:
\[ 1\,014 / 3 = 338 \]
Теперь у нас остался 338. Проверим на делимость на 2:
338 делится на 2:
\[ 338 / 2 = 169 \]
Посмотрим, что такое 169:
\[ 169 = 13^2 \]
Итак, разложение:
\[ 27,378 = 3^4 \times 2 \times 13^2 \]
(так как \(27,378 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 13 \times 13\)).
Общий разложение:
\[ 27,\!378 = 2^1 \times 3^4 \times 13^2 \]
Шаг 7: Возьмём корень
\[ \sqrt{27\,378} = \sqrt{2^1 \times 3^4 \times 13^2} \]
Поскольку:
- \(\sqrt{a^b} = a^{b/2}\),
- Квадраты и четвертые степени под корнем упрощаются.
Применим:
\[ \sqrt{2^1} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \] \[ \sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9 \] \[ \sqrt{13^2} = 13^{2/2} = 13 \]
Итак,
\[ \sqrt{27\,378} = \sqrt{2} \times 9 \times 13 = 9 \times 13 \times \sqrt{2} = 117 \sqrt{2} \]
Шаг 8: Итоговое выражение
Теперь подставим все обратно:
\[ \sqrt{\frac{27\,378}{50}} = \frac{117 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2}} = \frac{117 \cancel{\sqrt{2}}}{5 \cancel{\sqrt{2}}} = \frac{117}{5} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{117}{5} = 23.4} \]
Итог:
\(\sqrt{5.2 \cdot 3.9 \cdot 27} = \frac{117}{5} \approx 23.4\)
Если есть вопросы или нужно ещё что-то — спрашивайте!
