\sqrt{5.2\cdot3.9\cdot27}

Давайте решим задачу: \(\sqrt{5.2 \cdot 3.9 \cdot 27}\). Цель — понять, как упростить и вычислить это выражение. **Шаг 1: Упростим подкоренное выражение** Посмотрим, как можно упростить произведение \(5.2 \cdot 3.9 \cdot 27\). Чтобы упростить вычисления, попробуем представить числа в виде более удобных дробей или целых чисел. **Шаг 2: Разложение множителей** Перепишем числа: - \(5.2 = \frac{52}{10} = \frac{26}{5}\) - \(3.9 = \frac{39}{10}\) Таким образом, \[ 5.2 \cdot 3.9 \cdot 27 = \frac{26}{5} \times \frac{39}{10} \times 27 \] **Шаг 3: Выполним умножение дробей** Запишем всё в виде дроби: \[ \frac{26 \times 39 \times 27}{5 \times 10} = \frac{26 \times 39 \times 27}{50} \] Теперь вычислим числитель: 1. \(26 \times 39\) Обозначим это отдельно: \[ 26 \times 39 = (20 + 6) \times 39 = 20 \times 39 + 6 \times 39 = 780 + 234 = 1014 \] 2. Теперь умножим полученное на 27: \[ 1014 \times 27 \] Вычислим: \[ 1014 \times 20 = 20\,280 \] \[ 1014 \times 7 = 7\,098 \] Складываем: \[ 20\,280 + 7\,098 = 27\,378 \] Итог числитель: \[ 26 \times 39 \times 27 = 27\,378 \] Таким образом, выражение внутри квадратного корня — это: \[ \frac{27\,378}{50} \] **Шаг 4: Записать исходный корень** \[ \sqrt{\frac{27\,378}{50}} = \frac{\sqrt{27\,378}}{\sqrt{50}} \] **Шаг 5: Упростим корень из знаменателя** \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2} \] **Шаг 6: Исследуем числитель \( \sqrt{27\,378} \)** Нужно понять, можно ли упростить \(\sqrt{27\,378}\). Проверим, делится ли 27,378 на квадраты чисел. Разложим 27,378: - Попробуем сделать деление или найти делители. Обратимся к приближенным оценкам — лучше всего попробовать разложить 27,378 на простые множители. Проверим делимость на 2: \[ 27\,378 / 2 = 13\,689 \] Не делится на 2 дальше потому, что цифра 9 — нечётная. Проверка делимости на 3: Сумма цифр: \(2 + 7 + 3 + 7 + 8 = 27\) 27 делится на 3, значит и число делится на 3. Проведём деление: \[ 27\,378 / 3 = 9\,126 \] Повторим деление: \[ 9\,126 / 3 = 3\,042 \] И снова: \[ 3\,042 / 3 = 1\,014 \] Далее: \[ 1\,014 / 3 = 338 \] Теперь у нас остался 338. Проверим на делимость на 2: 338 делится на 2: \[ 338 / 2 = 169 \] Посмотрим, что такое 169: \[ 169 = 13^2 \] Итак, разложение: \[ 27,378 = 3^4 \times 2 \times 13^2 \] (так как \(27,378 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 13 \times 13\)). Общий разложение: \[ 27,\!378 = 2^1 \times 3^4 \times 13^2 \] **Шаг 7: Возьмём корень** \[ \sqrt{27\,378} = \sqrt{2^1 \times 3^4 \times 13^2} \] Поскольку: - \(\sqrt{a^b} = a^{b/2}\), - Квадраты и четвертые степени под корнем упрощаются. Применим: \[ \sqrt{2^1} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \] \[ \sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9 \] \[ \sqrt{13^2} = 13^{2/2} = 13 \] Итак, \[ \sqrt{27\,378} = \sqrt{2} \times 9 \times 13 = 9 \times 13 \times \sqrt{2} = 117 \sqrt{2} \] **Шаг 8: Итоговое выражение** Теперь подставим все обратно: \[ \sqrt{\frac{27\,378}{50}} = \frac{117 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2}} = \frac{117 \cancel{\sqrt{2}}}{5 \cancel{\sqrt{2}}} = \frac{117}{5} \] **Ответ:** \[ \boxed{\frac{117}{5} = 23.4} \] --- **Итог:** \(\sqrt{5.2 \cdot 3.9 \cdot 27} = \frac{117}{5} \approx 23.4\) Если есть вопросы или нужно ещё что-то — спрашивайте!