В треугольнике A B C ABC известно: A B = 21 AB=21, B C = 14 BC=14, cos ∠ A B C = 1 4 cos∠ABC= 4 1 . Найдите длину стороны A C AC.
Давайте подробно разберем задачу и найдём длину стороны AC треугольника ABC.
Дано:
- AB = 21
- BC = 14
- cos∠ABC = 1/4
Нам нужно найти длину стороны AC.
Шаг 1: Обозначения сторон и углов
Обозначим:
- \( AB = c = 21 \) (сторона напротив вершины C)
- \( BC = a = 14 \) (сторона напротив вершины A)
- \( AC = b \) — искомая сторона
- Углы:
- \( \angle ABC \) — угол при вершине B
- Его обозначим как \( \angle B \)
Шаг 2: Использование закона косинусов
Закон косинусов связывает стороны и угол между ними:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \angle A \]
или для другого угла:
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \angle B \]
и так далее.
Нам даны:
- \( c = 21 \)
- \( a = 14 \)
- \( \cos \angle B = \frac{1}{4} \)
Так как угол при вершине B — это угол между сторонами AB и BC, и стороны, лежащие напротив, — соответствующие. Чтобы применить закон косинусов, удобно использовать его для стороны AC (обозначим её как \( b \)).
Шаг 3: Используем закон косинусов для стороны AC
В частности, для стороны AC, которая находится напротив угла \( \angle B \), применяется формула:
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \angle B \]
Подставляем известные значения:
\[ b^2 = 14^2 + 21^2 - 2 \times 14 \times 21 \times \frac{1}{4} \]
Пошагово считать:
\[ 14^2 = 196 \] \[ 21^2 = 441 \] \[ 2 \times 14 \times 21 = 2 \times 294 = 588 \] \[ 588 \times \frac{1}{4} = 147 \]
Теперь:
\[ b^2 = 196 + 441 - 147 = (637) - 147 = 490 \]
Шаг 4: Находим длину стороны AC
Берем корень квадратный:
\[ b = \sqrt{490} \]
Это можно упростить:
\[ 490 = 49 \times 10 \]
Тогда:
\[ b = \sqrt{49 \times 10} = 7 \sqrt{10} \]
Ответ:
\[ \boxed{AC = 7 \sqrt{10}} \]
или примерно:
\[ AC \approx 7 \times 3.16 \approx 22.12 \]
Если нужны дополнительные пояснения, я с радостью помогу!
