Давайте подробно разберем задачу и найдём длину стороны AC треугольника ABC.
Дано:
- AB = 21
- BC = 14
- cos∠ABC = 1/4
Нам нужно найти длину стороны AC.
Шаг 1: Обозначения сторон и углов
Обозначим:
- ( AB = c = 21 ) (сторона напротив вершины C)
- ( BC = a = 14 ) (сторона напротив вершины A)
- ( AC = b ) — искомая сторона
- Углы:
- ( \angle ABC ) — угол при вершине B
- Его обозначим как ( \angle B )
Шаг 2: Использование закона косинусов
Закон косинусов связывает стороны и угол между ними:
[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \angle A
]
или для другого угла:
[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \angle B
]
и так далее.
Нам даны:
- ( c = 21 )
- ( a = 14 )
- ( \cos \angle B = \frac{1}{4} )
Так как угол при вершине B — это угол между сторонами AB и BC, и стороны, лежащие напротив, — соответствующие. Чтобы применить закон косинусов, удобно использовать его для стороны AC (обозначим её как ( b )).
Шаг 3: Используем закон косинусов для стороны AC
В частности, для стороны AC, которая находится напротив угла ( \angle B ), применяется формула:
[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \angle B
]
Подставляем известные значения:
[
b^2 = 14^2 + 21^2 - 2 \times 14 \times 21 \times \frac{1}{4}
]
Пошагово считать:
[
14^2 = 196
]
[
21^2 = 441
]
[
2 \times 14 \times 21 = 2 \times 294 = 588
]
[
588 \times \frac{1}{4} = 147
]
Теперь:
[
b^2 = 196 + 441 - 147 = (637) - 147 = 490
]
Шаг 4: Находим длину стороны AC
Берем корень квадратный:
[
b = \sqrt{490}
]
Это можно упростить:
[
490 = 49 \times 10
]
Тогда:
[
b = \sqrt{49 \times 10} = 7 \sqrt{10}
]
Ответ:
[
\boxed{AC = 7 \sqrt{10}}
]
или примерно:
[
AC \approx 7 \times 3.16 \approx 22.12
]
Если нужны дополнительные пояснения, я с радостью помогу!
