Давайте разберемся с задачей пошагочно.
Дана:
- ΔABC — прямоугольный треугольник с углом C = 90°
- Высота, опущенная на гипотенузу ( BD ), равна 12 см
- Катет ( AC = 24 ) см
- Нужно найти угол ( B )
Шаг 1. Обозначения и фигура
Обозначим:
- ( \angle C = 90^\circ )
- ( AC = 24 ) см (один из катетов)
- ( BC = ? ) (второй катет, который нужно найти)
- ( AB = ? ) (гипотенуза)
Высота ( BD ) опущена из ( B ) на гипотенузу ( AC )-( AB ).
Шаг 2. Используем свойства прямоугольного треугольника
Поскольку ( C ) — прямой угол, то:
- ( AC \perp BC )
- ( AB ) — гипотенуза.
Катеты ( AC ) и ( BC ) связаны гипотенузой по теореме Пифагора:
[
AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}
]
Но пока не знаем ( BC ).
Шаг 3. Связь высоты и сторон
Из свойства высоты, опущенной на гипотенузу, в прямоугольном треугольнике:
[
BD = \frac{AC \times BC}{AB}
]
где:
- ( BD = 12 ) см — высота,
- ( AC = 24 ) см.
Подставим:
[
12 = \frac{24 \times BC}{AB}
]
Выразим ( AB ):
[
AB = \frac{24 \times BC}{12} = 2 \times BC
]
Также известно, что ( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} ), значит:
[
AB = \sqrt{24^2 + BC^2} = \sqrt{576 + BC^2}
]
Но из предыдущего равенства:
[
AB = 2 \times BC
]
следовательно:
[
2 \times BC = \sqrt{576 + BC^2}
]
Шаг 4. Решение уравнения
Возьмем в квадрат обе части уравнения:
[
(2 BC)^2 = 576 + BC^2
]
[
4 BC^2 = 576 + BC^2
]
Перенесем все в левую сторону:
[
4 BC^2 - BC^2 = 576
]
[
3 BC^2 = 576
]
Найдем ( BC^2 ):
[
BC^2 = \frac{576}{3} = 192
]
Следовательно:
[
BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8 \sqrt{3}
]
Шаг 5. Найдём гипотенузу ( AB )
[
AB = 2 \times BC = 2 \times 8 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}
]
Шаг 6. Найдем угол ( B )
Угол ( B ) — это угол при вершине ( B ), противоположный катету ( AC ).
Используем тригонометрию:
[
\sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}
]
Подставим значения:
[
\sin B = \frac{24}{16 \sqrt{3}}
]
Упростим:
[
\sin B = \frac{24}{16 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Т.к. ( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} ), то:
[
B = 60^\circ
]
Ответ:
[
\boxed{60^\circ}
]
Угол ( B ) равен 60 градусов.
