Прямоугольном треугольнике угол C равен 90°, высота см опущенная на гипотенузу равна 12 см катет AC равен 24 см Найдите величину угла B Ответ запишите в градусах
Давайте разберемся с задачей пошагочно.
Дана:
- ΔABC — прямоугольный треугольник с углом C = 90°
- Высота, опущенная на гипотенузу \( BD \), равна 12 см
- Катет \( AC = 24 \) см
- Нужно найти угол \( B \)
Шаг 1. Обозначения и фигура
Обозначим:
- \( \angle C = 90^\circ \)
- \( AC = 24 \) см (один из катетов)
- \( BC = ? \) (второй катет, который нужно найти)
- \( AB = ? \) (гипотенуза)
Высота \( BD \) опущена из \( B \) на гипотенузу \( AC \)-\( AB \).
Шаг 2. Используем свойства прямоугольного треугольника
Поскольку \( C \) — прямой угол, то:
- \( AC \perp BC \)
- \( AB \) — гипотенуза.
Катеты \( AC \) и \( BC \) связаны гипотенузой по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]
Но пока не знаем \( BC \).
Шаг 3. Связь высоты и сторон
Из свойства высоты, опущенной на гипотенузу, в прямоугольном треугольнике:
\[ BD = \frac{AC \times BC}{AB} \]
где:
- \( BD = 12 \) см — высота,
- \( AC = 24 \) см.
Подставим: \[ 12 = \frac{24 \times BC}{AB} \]
Выразим \( AB \): \[ AB = \frac{24 \times BC}{12} = 2 \times BC \]
Также известно, что \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \), значит: \[ AB = \sqrt{24^2 + BC^2} = \sqrt{576 + BC^2} \]
Но из предыдущего равенства: \[ AB = 2 \times BC \]
следовательно: \[ 2 \times BC = \sqrt{576 + BC^2} \]
Шаг 4. Решение уравнения
Возьмем в квадрат обе части уравнения:
\[ (2 BC)^2 = 576 + BC^2 \]
\[ 4 BC^2 = 576 + BC^2 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 4 BC^2 - BC^2 = 576 \]
\[ 3 BC^2 = 576 \]
Найдем \( BC^2 \):
\[ BC^2 = \frac{576}{3} = 192 \]
Следовательно:
\[ BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8 \sqrt{3} \]
Шаг 5. Найдём гипотенузу \( AB \)
\[ AB = 2 \times BC = 2 \times 8 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \]
Шаг 6. Найдем угол \( B \)
Угол \( B \) — это угол при вершине \( B \), противоположный катету \( AC \).
Используем тригонометрию:
\[ \sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]
Подставим значения:
\[ \sin B = \frac{24}{16 \sqrt{3}} \]
Упростим:
\[ \sin B = \frac{24}{16 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Т.к. \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:
\[ B = 60^\circ \]
Ответ:
\[ \boxed{60^\circ} \]
Угол \( B \) равен 60 градусов.
