Дано: произведение двух натуральных чисел равно 20, а их сумма равна 9. Нужно найти эти два числа.
Обозначим эти числа как ( x ) и ( y ).
Из условий имеем систему уравнений:
[
- \quad x \times y = 20
]
[
- \quad x + y = 9
]
Шаг 1: Выразим одно число через другое
Из второго уравнения выразим ( y ):
[
y = 9 - x
]
Шаг 2: Подставим в первое уравнение
Подставим ( y = 9 - x ) в уравнение ( xy = 20 ):
[
x \times (9 - x) = 20
]
Раскроем скобки:
[
9x - x^2 = 20
]
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
[
-x^2 + 9x - 20 = 0
]
Умножим всю формулу на -1 для удобства:
[
x^2 - 9x + 20 = 0
]
Шаг 3: Решение квадрата
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \times 1 \times 20 = 81 - 80 = 1
]
Находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}
]
Пара решений:
- (\displaystyle x = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5)
- (\displaystyle x = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4)
Шаг 4: Находим соответствующие ( y )
Если ( x = 5 ), то:
[
y = 9 - 5 = 4
]
Если ( x = 4 ), то:
[
y = 9 - 4 = 5
]
Оба варианта дают одинаковые пары чисел.
Ответ: числа — 4 и 5.
Проверка:
[
4 \times 5 = 20 \quad \checkmark
]
[
4 + 5 = 9 \quad \checkmark
]
Итак, искомые числа — 4 и 5.
