Давайте разберем каждую задачу по порядку, чтобы понять и решить их подробно.
Задача 1
Условие:
Диаметр подшипников — 62 мм. Вероятность того, что диаметр отличается от заданного не больше 0,01 мм, равна 0,986. Найти вероятность, что выбранный подшипник будет иметь диаметр меньше 61,99 мм или больше 62,01 мм.
Рояль проступает, что это нормально моделировать как нормальное распределение, поскольку допущение о средних значениях и вероятностях с помощью закона нормального распределения — это стандартный подход.
Шаг 1. Понимание данных
- Среднее значение диаметра: (\mu = 62) мм.
- Вероятность, что диаметр находится в диапазоне ([62 - 0,01, 62 + 0,01]), то есть ([61,99; 62,01]), равна 0,986.
Это эквивалентно:
[
P(61,99 \leq X \leq 62,01) = 0,986
]
Шаг 2. Найти стандартное отклонение (\sigma)
Для нормального распределения вероятность нахождения в интервале ([\mu - a, \mu + a]) равна (0,986). В стандартизированном виде это:
[
P(-z_0 \leq Z \leq z_0) = 0,986
]
где (Z) — стандартная нормальная переменная, а (z_0) — соответствующий квантиль.
Из таблицы стандартного нормального распределения:
[
P(|Z| \leq z_0) = 0,986
]
Итак,
[
P(Z \leq z_0) = \frac{1 + 0,986}{2} = 0,993
]
По таблице или по калькулятору:
[
z_0 \approx 2,5
]
Это означает, что:
[
\frac{a}{\sigma} = z_0 \Rightarrow \frac{0,01}{\sigma} = 2,5
]
[
\sigma = \frac{0,01}{2,5} = 0,004
]
Шаг 3. Находим вероятность, что диаметр меньше 61,99 мм или больше 62,01 мм
Это события, лежащие за пределами интервала ([61,99; 62,01]):
[
P(X < 61,99 \text{ или } X > 62,01) = 1 - P(61,99 \leq X \leq 62,01) = 1 - 0,986 = 0,014
]
Ответ к задаче 1:
Вероятность, что диаметр будет меньше 61,99 мм или больше 62,01 мм: ≈ 0,014 (или 1,4%).
Задача 2
Условие:
Вероятность того, что сигнал никем не будет принят, равна 0,08. Найти вероятность, что хотя бы одному из радистов удастся принять сигнал.
Решение:
Обозначим событие:
- (A) — первый радист принимает сигнал.
- (B) — второй радист принимает сигнал.
Нам известна вероятность отрицательного события — никто не принимает:
[
P(\text{никем не принимает}) = 0,08
]
А значит, вероятность, что хотя бы один принимает, есть обратное событие:
[
P(\text{хотя бы один принимает}) = 1 - P(\text{никем не принимает}) = 1 - 0,08 = 0,92
]
Ответ ко второй задаче:
Вероятность, что хотя бы один радист примет сигнал — 0,92 (или 92%).
Задача 3
Условие:
Бросают игральный кубик два раза. Нужно найти, во сколько раз вероятность события «выпадет разное количество очков» больше вероятности события «выпадет одинаковое количество очков».
Шаг 1. Определим вероятности.
Общее число исходов при двух бросках — (6 \times 6 = 36).
- Вероятность одинакового количества очков (например, оба раза выпала 1, 2, …, 6):
Количество таких исходов:
[
\text{(одинаковые)} = 6 \quad (\text{(1,1), (2,2), ..., (6,6)})
]
Т.е.:
[
P(\text{одинаковые}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
]
- Вероятность разного количества очков:
Остальные исходы:
[
36 - 6 = 30
]
Следовательно:
[
P(\text{разное}) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}
]
Шаг 2. Вычисляем в сколько раз вероятность разное больше вероятности одинаковое:
[
\frac{P(\text{разное})}{P(\text{одинаковое})} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{5/6}{1/6} = 5
]
Ответ к задаче 3:
Вероятность того, что выпадет разное количество очков, больше вероятности одинакового в 5 раз.
Если нужно, я могу еще пояснить любой из этих пунктов подробнее!
