Разность двух натуральных чисел равна 12, а сумма их квадратов равна 522. Найдите эти числа.

Рассмотрим задачу: "Разность двух натуральных чисел равна 12, а сумма их квадратов равна 522. Нужно найти эти числа." Обозначим два числа через \( x \) и \( y \), где \( x > y \). Из условия имеем два уравнения: 1. Разность чисел: \[ x - y = 12 \] 2. Сумма их квадратов: \[ x^2 + y^2 = 522 \] --- ### Шаг 1. Выразим одно число через другое Из первого уравнения: \[ x = y + 12 \] Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (y + 12)^2 + y^2 = 522 \] --- ### Шаг 2. Раскроем скобки и упростим Раскроем квадрат: \[ (y + 12)^2 = y^2 + 24y + 144 \] Подставим в уравнение: \[ y^2 + 24y + 144 + y^2 = 522 \] Объединим подобные: \[ 2y^2 + 24y + 144 = 522 \] ### Шаг 3. Упростим полученное уравнение Вычтем 522 из обеих частей: \[ 2y^2 + 24y + 144 - 522 = 0 \] \[ 2y^2 + 24y - 378 = 0 \] Разделим всё уравнение на 2 для удобства: \[ y^2 + 12y - 189 = 0 \] --- ### Шаг 4. Решим квадратное уравнение Используем формулу для корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \( b=12 \), \( c=-189 \). - Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \times 1 \times (-189) = 144 + 756 = 900 \] - Найдём корни: \[ y = \frac{-12 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-12 \pm 30}{2} \] Получаем два варианта: 1. \( y = \frac{-12 + 30}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) 2. \( y = \frac{-12 - 30}{2} = \frac{-42}{2} = -21 \) --- ### Шаг 5. Проверка условий Так как числа — натуральные, то \( y \) должно быть натуральным числом, и больше 0. Следовательно, выбираем \( y=9 \). Теперь найдём \( x \): \[ x = y + 12 = 9 + 12 = 21 \] Проверим оба условия: - Разность: \( 21 - 9 = 12 \) — верно. - Сумма квадратов: \[ 21^2 + 9^2 = 441 + 81 = 522 \] — верно. --- ## Ответ: **Два числа: 21 и 9.**