Разность двух натуральных чисел равна 12, а сумма их квадратов равна 522. Найдите эти числа.
Рассмотрим задачу:
"Разность двух натуральных чисел равна 12, а сумма их квадратов равна 522. Нужно найти эти числа."
Обозначим два числа через \( x \) и \( y \), где \( x > y \).
Из условия имеем два уравнения:
Разность чисел:
\[ x - y = 12 \]Сумма их квадратов:
\[ x^2 + y^2 = 522 \]
Шаг 1. Выразим одно число через другое
Из первого уравнения:
\[ x = y + 12 \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ (y + 12)^2 + y^2 = 522 \]
Шаг 2. Раскроем скобки и упростим
Раскроем квадрат:
\[ (y + 12)^2 = y^2 + 24y + 144 \]
Подставим в уравнение:
\[ y^2 + 24y + 144 + y^2 = 522 \]
Объединим подобные:
\[ 2y^2 + 24y + 144 = 522 \]
Шаг 3. Упростим полученное уравнение
Вычтем 522 из обеих частей:
\[ 2y^2 + 24y + 144 - 522 = 0 \]
\[ 2y^2 + 24y - 378 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 2 для удобства:
\[ y^2 + 12y - 189 = 0 \]
Шаг 4. Решим квадратное уравнение
Используем формулу для корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \( b=12 \), \( c=-189 \).
- Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \times 1 \times (-189) = 144 + 756 = 900 \]
- Найдём корни:
\[ y = \frac{-12 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{-12 \pm 30}{2} \]
Получаем два варианта:
- \( y = \frac{-12 + 30}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
- \( y = \frac{-12 - 30}{2} = \frac{-42}{2} = -21 \)
Шаг 5. Проверка условий
Так как числа — натуральные, то \( y \) должно быть натуральным числом, и больше 0.
Следовательно, выбираем \( y=9 \).
Теперь найдём \( x \):
\[ x = y + 12 = 9 + 12 = 21 \]
Проверим оба условия:
- Разность: \( 21 - 9 = 12 \) — верно.
- Сумма квадратов:
\[ 21^2 + 9^2 = 441 + 81 = 522 \] — верно.
Ответ:
Два числа: 21 и 9.
