Векторы D A → DA , B 1 C → B 1 C и x → x , заданные вершинами куба A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 компланарны. Укажи x → x .

Давайте разберем задачу поэтапно.

Условие:
Даны векторы:

• \(\vec{DA}\)
• \(\vec{B_1C}\)
• \(\vec{x}\)

Все они заданы вершинами куба с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\), где верхний ярус — это вершины с индексом 1. В рамках задачи, эти векторы являются компланарными (лежат в одной плоскости).

Цель:
Найти вектор \(\vec{x}\), при котором все три данных вектора компланарны.

---

Шаг 1: Запишем векторы в координатной форме

Рассмотрим куб, расположенный в трехмерной системе с координатами:

• \(A = (0,0,0)\)
• Вершина верхнего яруса:
  • \(A_1 = (0,0,1)\)
  • \(B = (1,0,0)\)
  • \(B_1 = (1,0,1)\)
  • \(C = (1,1,0)\)
  • \(C_1 = (1,1,1)\)
  • \(D = (0,1,0)\)
  • \(D_1 = (0,1,1)\)

Это стандартное расположение куба со стороной 1.

---

Шаг 2: Запишем векторы

• \(\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D} = (0,0,0) - (0,1,0) = (0,-1,0)\)

• \(\vec{B_1C} = \vec{C} - \vec{B_1} = (1,1,0) - (1,0,1) = (0,1,-1)\)

• \(\vec{x}\) — это неизвестный вектор, который мы ищем.

---

Шаг 3: Условие компланарности

Три вектора \(\vec{DA}\), \(\vec{B_1C}\), \(\vec{x}\) компланарны, если их смешанное произведение равно нулю:

\[ [\vec{DA}, \vec{B_1C}, \vec{x}] = 0 \]

или в виде скалярного triple product:

\[ (\vec{DA} \times \vec{B_1C}) \cdot \vec{x} = 0 \]

Это означает, что вектор \(\vec{x}\) лежит в плоскости, определенной векторами \(\vec{DA}\) и \(\vec{B_1C}\).

---

Шаг 4: Найдем векторное произведение \(\vec{DA} \times \vec{B_1C}\)

\[ \vec{DA} = (0, -1, 0) \] \[ \vec{B_1C} = (0, 1, -1) \]

Векторное произведение:

\[ \vec{N} = \vec{DA} \times \vec{B_1C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} \]

Вычислим детерминант:

\[ \vec{N} = \mathbf{i}((-1) \times (-1) - 0 \times 1) - \mathbf{j}(0 \times (-1) - 0 \times 0) + \mathbf{k}(0 \times 1 - (-1) \times 0) \]

\[ \vec{N} = \mathbf{i}(1 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 0) = (1, 0, 0) \]

Итак,

\[ \boxed{ \vec{N} = (1, 0, 0) } \]

---

Шаг 5: Записываем условие для \(\vec{x}\)

\[ \vec{N} \cdot \vec{x} = 0 \Rightarrow (1, 0, 0) \cdot (x_x, x_y, x_z) = 0 \]

\[ x_x = 0 \]

Это означает, что:

\[ \boxed{ \vec{x} = (0, x_y, x_z) } \]

или в общем виде — любой вектор, у которого первая компонента равна 0.

---

Итог:

Вектор \(\vec{x}\) должен иметь вид:

\[ \boxed{ \vec{x} = (0, x_y, x_z) } \]

где \(x_y\) и \(x_z\) — произвольные числа.

В ответе:

\(\vec{x}\) — любой вектор, у которого первая компонента равна нулю.