Векторы  D A → DA ,  B 1 C → B 1 C  и  x → x , заданные вершинами куба  A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1  компланарны. Укажи  x → x .

Давайте разберем задачу поэтапно. **Условие:** Даны векторы: - \(\vec{DA}\) - \(\vec{B_1C}\) - \(\vec{x}\) Все они заданы вершинами куба с вершинами \(A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1\), где верхний ярус — это вершины с индексом 1. В рамках задачи, эти векторы являются компланарными (лежат в одной плоскости). **Цель:** Найти вектор \(\vec{x}\), при котором все три данных вектора компланарны. --- ### Шаг 1: Запишем векторы в координатной форме Рассмотрим куб, расположенный в трехмерной системе с координатами: - \(A = (0,0,0)\) - Вершина верхнего яруса: - \(A_1 = (0,0,1)\) - \(B = (1,0,0)\) - \(B_1 = (1,0,1)\) - \(C = (1,1,0)\) - \(C_1 = (1,1,1)\) - \(D = (0,1,0)\) - \(D_1 = (0,1,1)\) Это стандартное расположение куба со стороной 1. --- ### Шаг 2: Запишем векторы - \(\vec{DA} = \vec{A} - \vec{D} = (0,0,0) - (0,1,0) = (0,-1,0)\) - \(\vec{B_1C} = \vec{C} - \vec{B_1} = (1,1,0) - (1,0,1) = (0,1,-1)\) - \(\vec{x}\) — это неизвестный вектор, который мы ищем. --- ### Шаг 3: Условие компланарности Три вектора \(\vec{DA}\), \(\vec{B_1C}\), \(\vec{x}\) компланарны, если их смешанное произведение равно нулю: \[ [\vec{DA}, \vec{B_1C}, \vec{x}] = 0 \] или в виде скалярного triple product: \[ (\vec{DA} \times \vec{B_1C}) \cdot \vec{x} = 0 \] Это означает, что вектор \(\vec{x}\) лежит в плоскости, определенной векторами \(\vec{DA}\) и \(\vec{B_1C}\). --- ### Шаг 4: Найдем векторное произведение \(\vec{DA} \times \vec{B_1C}\) \[ \vec{DA} = (0, -1, 0) \] \[ \vec{B_1C} = (0, 1, -1) \] Векторное произведение: \[ \vec{N} = \vec{DA} \times \vec{B_1C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} \] Вычислим детерминант: \[ \vec{N} = \mathbf{i}((-1) \times (-1) - 0 \times 1) - \mathbf{j}(0 \times (-1) - 0 \times 0) + \mathbf{k}(0 \times 1 - (-1) \times 0) \] \[ \vec{N} = \mathbf{i}(1 - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 0) = (1, 0, 0) \] Итак, \[ \boxed{ \vec{N} = (1, 0, 0) } \] --- ### Шаг 5: Записываем условие для \(\vec{x}\) \[ \vec{N} \cdot \vec{x} = 0 \Rightarrow (1, 0, 0) \cdot (x_x, x_y, x_z) = 0 \] \[ x_x = 0 \] Это означает, что: \[ \boxed{ \vec{x} = (0, x_y, x_z) } \] или в общем виде — любой вектор, у которого первая компонента равна 0. --- ### Итог: **Вектор \(\vec{x}\) должен иметь вид:** \[ \boxed{ \vec{x} = (0, x_y, x_z) } \] где \(x_y\) и \(x_z\) — произвольные числа. ### В ответе: **\(\vec{x}\) — любой вектор, у которого первая компонента равна нулю.**