Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Точка C(4, –3) — точка, делящая отрезок АВ.
- Отрезок АВ делится точкой C в отношении 3:4, считая от точки А.
- Точка B(8, –6).
Что нужно найти: координаты точки A(x_а, y_а).
Шаг 1: Что значит, что C делит отрезок АВ в отношении 3:4, считая от A?
Это означает, что:
- Расстояние от A до C равно ( \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7} ) от всей длины АВ.
- Расстояние от C до B равно ( \frac{4}{7} ) длины АВ.
Важно: точка C — это точка деления отрезка АB в отношении 3:4, отсчитывая от A.
Шаг 2: Использование формулы деления отрезка в координатах
Если точка C делит отрезок АВ в отношении ( m:n ), то координаты C рассчитываются по формуле:
[
C_x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m + n}
]
[
C_y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m + n}
]
Где:
- ( m = 3 ),
- ( n = 4 ),
- ( x_B = 8 ),
- ( y_B = -6 ),
- ( C = (4, -3) ),
- ( x_A, y_A ) — искомые.
Подставим известные значения:
[
4 = \frac{4 \cdot x_A + 3 \cdot 8}{3 + 4} = \frac{4x_A + 24}{7}
]
[
-3 = \frac{4 \cdot y_A + 3 \cdot (-6)}{7} = \frac{4y_A - 18}{7}
]
Шаг 3: Решаем уравнения
Первое уравнение:
[
4 = \frac{4x_A + 24}{7}
]
умножим обе части на 7:
[
4 \times 7 = 4x_A + 24
]
[
28 = 4x_A + 24
]
вычитаем 24:
[
28 - 24 = 4x_A
]
[
4 = 4x_A
]
делим обе части на 4:
[
x_A = 1
]
Второе уравнение:
[
-3 = \frac{4 y_A - 18}{7}
]
умножим обе части на 7:
[
-3 \times 7 = 4 y_A - 18
]
[
-21 = 4 y_A - 18
]
добавляем 18 к обеим частям:
[
-21 + 18 = 4 y_A
]
[
-3 = 4 y_A
]
делим обе части на 4:
[
y_A = -\frac{3}{4} = -0.75
]
Ответ:
[
\boxed{
A(1, -0.75)
}
]
Координаты точки A — (1, –0.75).
