. Отрезок АВ разделили точкой C(4; - 3) в отношении 3:4 считая от точки А. Найти ко- ординаты точки А, если B(8; - 6)
Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Точка C(4, –3) — точка, делящая отрезок АВ.
- Отрезок АВ делится точкой C в отношении 3:4, считая от точки А.
- Точка B(8, –6).
Что нужно найти: координаты точки A(x_а, y_а).
Шаг 1: Что значит, что C делит отрезок АВ в отношении 3:4, считая от A?
Это означает, что:
- Расстояние от A до C равно \( \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7} \) от всей длины АВ.
- Расстояние от C до B равно \( \frac{4}{7} \) длины АВ.
Важно: точка C — это точка деления отрезка АB в отношении 3:4, отсчитывая от A.
Шаг 2: Использование формулы деления отрезка в координатах
Если точка C делит отрезок АВ в отношении \( m:n \), то координаты C рассчитываются по формуле:
\[ C_x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m + n} \] \[ C_y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m + n} \]
Где:
- \( m = 3 \),
- \( n = 4 \),
- \( x_B = 8 \),
- \( y_B = -6 \),
- \( C = (4, -3) \),
- \( x_A, y_A \) — искомые.
Подставим известные значения:
\[ 4 = \frac{4 \cdot x_A + 3 \cdot 8}{3 + 4} = \frac{4x_A + 24}{7} \]
\[ -3 = \frac{4 \cdot y_A + 3 \cdot (-6)}{7} = \frac{4y_A - 18}{7} \]
Шаг 3: Решаем уравнения
Первое уравнение:
\[ 4 = \frac{4x_A + 24}{7} \] умножим обе части на 7:
\[ 4 \times 7 = 4x_A + 24 \] \[ 28 = 4x_A + 24 \] вычитаем 24:
\[ 28 - 24 = 4x_A \] \[ 4 = 4x_A \] делим обе части на 4:
\[ x_A = 1 \]
Второе уравнение:
\[ -3 = \frac{4 y_A - 18}{7} \] умножим обе части на 7:
\[ -3 \times 7 = 4 y_A - 18 \] \[ -21 = 4 y_A - 18 \] добавляем 18 к обеим частям:
\[ -21 + 18 = 4 y_A \] \[ -3 = 4 y_A \] делим обе части на 4:
\[ y_A = -\frac{3}{4} = -0.75 \]
Ответ:
\[ \boxed{ A(1, -0.75) } \]
Координаты точки A — (1, –0.75).
