Чистая прибыль магазина увеличивается на 20%. сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза?

Давайте решим задачу пошагово и подробно.

Задача:
Чистая прибыль магазина увеличивается на 20% за определённый период. Нужно определить, сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза.

Шаг 1: Обозначим переменные

• Пусть начальная чистая прибыль — \( P_0 \).
• За один год прибыль увеличивается на 20%, то есть за год она становится на 20% больше предыдущей.

Обозначим:

• Количество лет — \( n \),
• Итоговая прибыль после \( n \) лет — \( P_n \).

Шаг 2: Выразим прибыль через начальную

Поскольку прибыль каждый год увеличивается на 20%, то она возрастает по формуле: \[ P_n = P_0 \times (1 + 0.2)^n = P_0 \times (1.2)^n \]

Шаг 3: Запишем условие задачи

Нам нужно, чтобы после \( n \) лет прибыль стала не менее в 2,4 раза больше начальной: \[ P_n \geq 2.4 \times P_0 \]

Подставим выражение для \( P_n \): \[ P_0 \times (1.2)^n \geq 2.4 \times P_0 \]

Так как \( P_0 > 0 \), делим обе части на \( P_0 \): \[ (1.2)^n \geq 2.4 \]

Шаг 4: Решаем неравенство

Нам нужно найти минимальное целое \( n \), при котором это выполняется.

Используем логарифмы: \[ \ln \left( (1.2)^n \right) \geq \ln 2.4 \]

Поскольку \( \ln(a^b) = b \ln a \): \[ n \ln 1.2 \geq \ln 2.4 \]

Выражаем \( n \): \[ n \geq \frac{\ln 2.4}{\ln 1.2} \]

Шаг 5: Вычисляем значение

Рассчитаем числовые значения:

• \( \ln 2.4 \approx 0.8755 \),
• \( \ln 1.2 \approx 0.1823 \).

Тогда: \[ n \geq \frac{0.8755}{0.1823} \approx 4.8 \]

Так как необходимо пройти полные годы, берем следующую целую величину: \[ n = 5 \]

Ответ:

Чтобы увеличить чистую прибыль в не менее чем в 2,4 раза при ежегодном росте на 20%, потребуется пройти 5 полных лет.