Давайте решим задачу пошагово и подробно.
Задача:
Чистая прибыль магазина увеличивается на 20% за определённый период. Нужно определить, сколько полных лет должно пройти, чтобы чистая прибыль увеличилась не менее чем в 2,4 раза.
Шаг 1: Обозначим переменные
- Пусть начальная чистая прибыль — ( P_0 ).
- За один год прибыль увеличивается на 20%, то есть за год она становится на 20% больше предыдущей.
Обозначим:
- Количество лет — ( n ),
- Итоговая прибыль после ( n ) лет — ( P_n ).
Шаг 2: Выразим прибыль через начальную
Поскольку прибыль каждый год увеличивается на 20%, то она возрастает по формуле:
[
P_n = P_0 \times (1 + 0.2)^n = P_0 \times (1.2)^n
]
Шаг 3: Запишем условие задачи
Нам нужно, чтобы после ( n ) лет прибыль стала не менее в 2,4 раза больше начальной:
[
P_n \geq 2.4 \times P_0
]
Подставим выражение для ( P_n ):
[
P_0 \times (1.2)^n \geq 2.4 \times P_0
]
Так как ( P_0 > 0 ), делим обе части на ( P_0 ):
[
(1.2)^n \geq 2.4
]
Шаг 4: Решаем неравенство
Нам нужно найти минимальное целое ( n ), при котором это выполняется.
Используем логарифмы:
[
\ln \left( (1.2)^n \right) \geq \ln 2.4
]
Поскольку ( \ln(a^b) = b \ln a ):
[
n \ln 1.2 \geq \ln 2.4
]
Выражаем ( n ):
[
n \geq \frac{\ln 2.4}{\ln 1.2}
]
Шаг 5: Вычисляем значение
Рассчитаем числовые значения:
- ( \ln 2.4 \approx 0.8755 ),
- ( \ln 1.2 \approx 0.1823 ).
Тогда:
[
n \geq \frac{0.8755}{0.1823} \approx 4.8
]
Так как необходимо пройти полные годы, берем следующую целую величину:
[
n = 5
]
Ответ:
Чтобы увеличить чистую прибыль в не менее чем в 2,4 раза при ежегодном росте на 20%, потребуется пройти 5 полных лет.
