Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Шаг 1. Определим общее количество шаров в ящике:
- Красных: 5
- Синих: 7
- Желтых: 3
- Розовых: 5
Общее число шаров:
[ 5 + 7 + 3 + 5 = 20 ]
Шаг 2. Что нам нужно найти:
Вероятность того, что в серии из 5 случайных повторных выборов (с возвращением или без, здесь не указано, предположим, без возврата по классике вероятности) красный шар выпадет ровно один раз.
Обратите внимание:
- В задаче не указано, что выборы делаются с возвращением, предположим, что – без возвращения (классический подход).
- Если бы выборы шли с возвращением, сумма была бы неменяема, и вероятности считались бы по-другому. Поскольку явно не указано, предположим, что выборы - без возврата, и все 5 шаров выбираются изначально с вероятностью, что мы выбираем органиановочный случай, где вероятность выпадения красного шара – постоянна на каждом шаге.
Шаг 3. Вероятность выбрать красный шар в одном ходе:
[ P(\text{красный}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} ]
Шаг 4. Вероятность, что в серии из 5 произведенных случайных независимых выборов (с одинаковыми вероятностями), красный шар выпадет ровно 1 раз:
Это биномиальная задача. Формула вероятности:
[ P(\text{ровно 1 красный из 5}) = C_5^1 \times \left(\frac{1}{4}\right)^1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 ]
Объяснение:
- ( C_5^1 ) – число способов выбрать позицию этого единственного красного шара среди 5
- ( \left(\frac{1}{4}\right)^1 ) – вероятность выпадения красного шара в выбранной позиции
- ( \left(\frac{3}{4}\right)^4 ) – вероятность того, что остальные 4 шары не красные.
Шаг 5. Вычислим:
[ C_5^1 = 5 ]
[ P = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 ]
Посчитаем:
[
P = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
[
= 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3^4}{4^4}
]
[
= 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256}
]
[
= \frac{5}{4} \times \frac{81}{256}
]
[
= \frac{5 \times 81}{4 \times 256} = \frac{405}{1024}
]
Ответ:
Вероятность того, что в серии из 5 повторных выпадений равномерными шансами красный шар появится ровно один раз, равна подробному обоснованию — (\frac{405}{1024}).
Если нужны дополнительные пояснения или другие детали, спрашивайте!
