В ящике находится 5 красных, 7 синих, 3 желтых и 5 розовых шаров... Найдите вероятность элементарного события, благоприятствующего тому, что в серии из пяти повторений красный шар…

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Шаг 1. Определим общее количество шаров в ящике:

• Красных: 5
• Синих: 7
• Желтых: 3
• Розовых: 5

Общее число шаров:
\[ 5 + 7 + 3 + 5 = 20 \]

Шаг 2. Что нам нужно найти:
Вероятность того, что в серии из 5 случайных повторных выборов (с возвращением или без, здесь не указано, предположим, без возврата по классике вероятности) красный шар выпадет ровно один раз.

Обратите внимание:

• В задаче не указано, что выборы делаются с возвращением, предположим, что – без возвращения (классический подход).
• Если бы выборы шли с возвращением, сумма была бы неменяема, и вероятности считались бы по-другому. Поскольку явно не указано, предположим, что выборы - без возврата, и все 5 шаров выбираются изначально с вероятностью, что мы выбираем органиановочный случай, где вероятность выпадения красного шара – постоянна на каждом шаге.

Шаг 3. Вероятность выбрать красный шар в одном ходе:
\[ P(\text{красный}) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]

Шаг 4. Вероятность, что в серии из 5 произведенных случайных независимых выборов (с одинаковыми вероятностями), красный шар выпадет ровно 1 раз:
Это биномиальная задача. Формула вероятности:
\[ P(\text{ровно 1 красный из 5}) = C_5^1 \times \left(\frac{1}{4}\right)^1 \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]

Объяснение:

• \( C_5^1 \) – число способов выбрать позицию этого единственного красного шара среди 5
• \( \left(\frac{1}{4}\right)^1 \) – вероятность выпадения красного шара в выбранной позиции
• \( \left(\frac{3}{4}\right)^4 \) – вероятность того, что остальные 4 шары не красные.

Шаг 5. Вычислим:
\[ C_5^1 = 5 \]
\[ P = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]

Посчитаем:
\[ P = 5 \times \frac{1}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^4 \]

\[ = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{3^4}{4^4} \]

\[ = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} \]

\[ = \frac{5}{4} \times \frac{81}{256} \]

\[ = \frac{5 \times 81}{4 \times 256} = \frac{405}{1024} \]

Ответ:
Вероятность того, что в серии из 5 повторных выпадений равномерными шансами красный шар появится ровно один раз, равна подробному обоснованию — \(\frac{405}{1024}\).

Если нужны дополнительные пояснения или другие детали, спрашивайте!