3. Проверьте справедливость равенства tan^2 x - sin^2 x = tan^2 x * sin^2 x
Давайте подробно проверим справедливость равенства:
\[
\tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \sin^2 x
\]
Шаг 1. Запишем исходное выражение
Мы рассматриваем равенство:
\[
\tan^2 x - \sin^2 x \stackrel{?}{=} \tan^2 x \cdot \sin^2 x
\]
Шаг 2. Выразим \(\tan^2 x\) через синус и косинус
По определению:
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]
следовательно:
\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Теперь перепишем левую часть уравнения, подставляя \(\tan^2 x\):
\[
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x
\]
Шаг 3. Приведем левую часть к общему знаменателю
Общий знаменатель — \(\cos^2 x\):
\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x} \]
Объяснение:
Первый член — уже в дроби, второй — запишем так: \(\sin^2 x = \frac{\sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x}\) для общего знаменателя.
Итак:
\[
\text{Левая часть} = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x}
\]
Выносим \(\sin^2 x\) за скобки:
\[
\frac{\sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x}
\]
Используем известное тригонометрическое тождество:
\[
1 - \cos^2 x = \sin^2 x
\]
Тогда:
\[
\text{Левая часть} = \frac{\sin^2 x \cdot \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}
\]
Шаг 4. Посмотрим правую часть и сравним
Правая часть равна:
\[
\tan^2 x \cdot \sin^2 x
\]
Подставим \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\), получим:
\[
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \sin^2 x = \frac{\sin^2 x \cdot \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}
\]
Шаг 5. Вывод
Левая и правая части равны:
\[
\frac{\sin^4 x}{\cos^2 x}
\]
Значит, равенство:
\[
\boxed{
\tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \sin^2 x
}
\]
выполняется для всех значений \(x\), для которых выражения определены (то есть, для \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), чтобы \(\cos x \neq 0\)).
Ответ:
Это равенство всегда справедливо при тех значениях \(x\), где оно определено.
