3. Проверьте справедливость равенства tan^2 x - sin^2 x = tan^2 x * sin^2 x

Давайте подробно проверим справедливость равенства: \[ \tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \sin^2 x \] **Шаг 1. Запишем исходное выражение** Мы рассматриваем равенство: \[ \tan^2 x - \sin^2 x \stackrel{?}{=} \tan^2 x \cdot \sin^2 x \] **Шаг 2. Выразим \(\tan^2 x\) через синус и косинус** По определению: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] следовательно: \[ \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \] Теперь перепишем левую часть уравнения, подставляя \(\tan^2 x\): \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x \] **Шаг 3. Приведем левую часть к общему знаменателю** Общий знаменатель — \(\cos^2 x\): \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x} \] **Объяснение:** Первый член — уже в дроби, второй — запишем так: \(\sin^2 x = \frac{\sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x}\) для общего знаменателя. Итак: \[ \text{Левая часть} = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{\cos^2 x} \] Выносим \(\sin^2 x\) за скобки: \[ \frac{\sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} \] Используем известное тригонометрическое тождество: \[ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \] Тогда: \[ \text{Левая часть} = \frac{\sin^2 x \cdot \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} \] **Шаг 4. Посмотрим правую часть и сравним** Правая часть равна: \[ \tan^2 x \cdot \sin^2 x \] Подставим \(\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\), получим: \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \sin^2 x = \frac{\sin^2 x \cdot \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} \] **Шаг 5. Вывод** Левая и правая части равны: \[ \frac{\sin^4 x}{\cos^2 x} \] Значит, равенство: \[ \boxed{ \tan^2 x - \sin^2 x = \tan^2 x \cdot \sin^2 x } \] выполняется **для всех значений \(x\), для которых выражения определены** (то есть, для \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), чтобы \(\cos x \neq 0\)). **Ответ:** Это равенство **всегда справедливо** при тех значениях \(x\), где оно определено.