Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки 𝐴 ( 2 ; − 1 ) A(2;−1) , 𝐵 ( − 1 ; − 4 ) B(−1;−4) , 𝐶 ( 2 ; − 4 ) C(2;−4) и 𝐷 ( − 4 ; − 1 ) D(−4;−1) .…

Чтобы найти точку пересечения отрезков AB и CD, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1. Записать уравнения прямых, содержащих отрезки AB и CD.

---

Для отрезка AB:

• Координаты A(2;−1), B(−1;−4)

• Находим коэффициенты уравнения прямой через две точки.
  Формула для наклона (k):

\[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{-4 + 1}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1 \]

• Уравнение вида: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

Возьмем точку A(2;−1):

\[ y - (-1) = 1 \times (x - 2) \\ y + 1 = x - 2 \\ y = x - 3 \]

Итак, уравнение прямой AB:

\[ y = x - 3 \]

---

Для отрезка CD:

• Координаты C(2;−4), D(−4;−1)

• Наклон:

\[ k_{CD} = \frac{-1 - (-4)}{-4 - 2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \]

• Используем точку C(2;−4):

\[ y - (-4) = -\frac{1}{2} \times (x - 2) \\ y + 4 = -\frac{1}{2} (x - 2) \\ y + 4 = -\frac{1}{2} x + 1 \\ y = -\frac{1}{2} x + 1 - 4 \\ y = -\frac{1}{2} x - 3 \]

Итак, уравнение прямой CD:

\[ y = -\frac{1}{2} x - 3 \]

---

Шаг 2. Решить систему уравнений, чтобы найти точку пересечения:

\[ \begin{cases} y = x - 3 \\ y = -\frac{1}{2} x - 3 \end{cases} \]

Приравниваем правые части:

\[ x - 3 = -\frac{1}{2} x - 3 \]

Добавляем 3 к обеих частям:

\[ x = -\frac{1}{2} x \]

Переносим \(-\frac{1}{2} x\) в левую сторону:

\[ x + \frac{1}{2} x = 0 \]

Объединяем:

\[ \frac{2}{2} x + \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x = 0 \]

Значит:

\[ x = 0 \]

Подставляем в уравнение \( y = x - 3 \):

\[ y = 0 - 3 = -3 \]

Координаты точки пересечения:

\[ \boxed{(0, -3)} \]

Шаг 3. Проверить, лежит ли эта точка на отрезках.

• Для AB:
  Проверим, между ли x-координатами точки (0) и конечных точек A(2;−1) и B(−1;−4).

• x-координаты A и B: 2 и −1
  Порядок: \(-1 < 0 < 2\).
  Точка с x=0 лежит между этими значениями — значит, на прямой, проходящей через А и В, точка тоже внутри отрезка.

• Проверим, для y:
  y по линии AB: \( y = x - 3 \Rightarrow y = 0 - 3 = -3 \).
  Это совпадает с найденным y-значением, так что точка на линии AB.

• Для CD:
  Координаты C(2;−4), D(−4;−1).

• x-координаты: 2 и −4.

• Порядок: \(-4 < 0 < 2\), точка с x=0 внутри диапазона — внутри отрезка.

• y по линии CD: \( y = -\frac{1}{2} x - 3 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \times 0 - 3 = -3 \).

Точка тоже внутри отрезка CD.

---

Ответ:
Координаты точки пересечения отрезков AB и CD: \(\boxed{(0, -3)}\).