Чтобы найти точку пересечения отрезков AB и CD, нужно выполнить несколько шагов:
Шаг 1. Записать уравнения прямых, содержащих отрезки AB и CD.
Для отрезка AB:
Координаты A(2;−1), B(−1;−4)
Находим коэффициенты уравнения прямой через две точки.
Формула для наклона (k):
[
k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - (-1)}{-1 - 2} = \frac{-4 + 1}{-1 - 2} = \frac{-3}{-3} = 1
]
- Уравнение вида: ( y - y_1 = k(x - x_1) )
Возьмем точку A(2;−1):
[
y - (-1) = 1 \times (x - 2) \
y + 1 = x - 2 \
y = x - 3
]
Итак, уравнение прямой AB:
[
y = x - 3
]
Для отрезка CD:
[
k_{CD} = \frac{-1 - (-4)}{-4 - 2} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}
]
- Используем точку C(2;−4):
[
y - (-4) = -\frac{1}{2} \times (x - 2) \
y + 4 = -\frac{1}{2} (x - 2) \
y + 4 = -\frac{1}{2} x + 1 \
y = -\frac{1}{2} x + 1 - 4 \
y = -\frac{1}{2} x - 3
]
Итак, уравнение прямой CD:
[
y = -\frac{1}{2} x - 3
]
Шаг 2. Решить систему уравнений, чтобы найти точку пересечения:
[
\begin{cases}
y = x - 3 \
y = -\frac{1}{2} x - 3
\end{cases}
]
Приравниваем правые части:
[
x - 3 = -\frac{1}{2} x - 3
]
Добавляем 3 к обеих частям:
[
x = -\frac{1}{2} x
]
Переносим (-\frac{1}{2} x) в левую сторону:
[
x + \frac{1}{2} x = 0
]
Объединяем:
[
\frac{2}{2} x + \frac{1}{2} x = \frac{3}{2} x = 0
]
Значит:
[
x = 0
]
Подставляем в уравнение ( y = x - 3 ):
[
y = 0 - 3 = -3
]
Координаты точки пересечения:
[
\boxed{(0, -3)}
]
Шаг 3. Проверить, лежит ли эта точка на отрезках.
Для AB:
Проверим, между ли x-координатами точки (0) и конечных точек A(2;−1) и B(−1;−4).
x-координаты A и B: 2 и −1
Порядок: (-1 < 0 < 2).
Точка с x=0 лежит между этими значениями — значит, на прямой, проходящей через А и В, точка тоже внутри отрезка.
Проверим, для y:
y по линии AB: ( y = x - 3 \Rightarrow y = 0 - 3 = -3 ).
Это совпадает с найденным y-значением, так что точка на линии AB.
Для CD:
Координаты C(2;−4), D(−4;−1).
x-координаты: 2 и −4.
Порядок: (-4 < 0 < 2), точка с x=0 внутри диапазона — внутри отрезка.
y по линии CD: ( y = -\frac{1}{2} x - 3 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \times 0 - 3 = -3 ).
Точка тоже внутри отрезка CD.
Ответ:
Координаты точки пересечения отрезков AB и CD: (\boxed{(0, -3)}).
