Решите неравенство 2sin^2x +√3sin x -3=0

Конечно! Решим неравенство (на самом деле — уравнение), данное в виде: \[ 2\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x - 3=0 \] Поскольку у нас есть квадрат по \(\sin x\), она превращается в квадратичное уравнение относительно \(\sin x\). Для удобства обозначим: \[ y = \sin x \] Тогда уравнение запишется как: \[ 2y^2 + \sqrt{3} y - 3 = 0 \] --- ### Шаг 1: Решение квадратичного уравнения относительно \( y \) Квадратичное уравнение: \[ 2 y^2 + \sqrt{3} y - 3 = 0 \] используем формулу корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где: - \(a=2\), - \(b=\sqrt{3}\), - \(c=-3\). Подставим: \[ y = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4 \times 2 \times (-3)}}{2 \times 2} \] Рассчитаем дискриминант: \[ \Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 3 + 24 = 27 \] Значит, получим: \[ y = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} \] Между тем: \[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3} \] Следовательно: \[ y = \frac{-\sqrt{3} \pm 3 \sqrt{3}}{4} \] Рассчитаем два решения: 1. Первый: \[ y_1 = \frac{-\sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 2. Второй: \[ y_2 = \frac{-\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{-4 \sqrt{3}}{4} = - \sqrt{3} \] --- ### Шаг 2: Анализ решений Теперь у нас есть два возможных значения \(\sin x\): \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin x = - \sqrt{3} \] Но нужно учесть ограничения: - Значение \(\sin x\) находится в диапазоне \([-1, 1]\). Проверим каждое решение: - \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866\), так что это допустимо. - \(-\sqrt{3} \approx -1.732\), а это меньше \(-1\), то есть невозможное значение для синуса. ### Итог: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Другое решение не подходит, потому что оно выходит за границы возможных значений \(\sin x\). --- ### Шаг 3: Находим \(x\) Решим уравнение: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Известное значение синуса — \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) достигается при углах: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] или в градусах: \[ x = 60^\circ + 360^\circ k, \quad x= 120^\circ + 360^\circ k, \] где \(k\) — любое целое число, так как функции периодичны с периодом \(2\pi\). --- ### **Ответ:** \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] или, в градусах: \[ x = 60^\circ + 360^\circ k, \quad x= 120^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Если нужно, могу помочь с конкретным диапазоном или более точной формулировкой!