решите неравенство 2sin^2x +√3sin x -3=0

Конечно! Решим неравенство (на самом деле — уравнение), данное в виде:

\[ 2\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x - 3=0 \]

Поскольку у нас есть квадрат по \(\sin x\), она превращается в квадратичное уравнение относительно \(\sin x\). Для удобства обозначим:

\[ y = \sin x \]

Тогда уравнение запишется как:

\[ 2y^2 + \sqrt{3} y - 3 = 0 \]

---

Шаг 1: Решение квадратичного уравнения относительно \( y \)

Квадратичное уравнение:

\[ 2 y^2 + \sqrt{3} y - 3 = 0 \]

используем формулу корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где:

• \(a=2\),
• \(b=\sqrt{3}\),
• \(c=-3\).

Подставим:

\[ y = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4 \times 2 \times (-3)}}{2 \times 2} \]

Рассчитаем дискриминант:

\[ \Delta = (\sqrt{3})^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 3 + 24 = 27 \]

Значит, получим:

\[ y = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} \]

Между тем:

\[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3} \]

Следовательно:

\[ y = \frac{-\sqrt{3} \pm 3 \sqrt{3}}{4} \]

Рассчитаем два решения:

1. Первый:

\[ y_1 = \frac{-\sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Второй:

\[ y_2 = \frac{-\sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{-4 \sqrt{3}}{4} = - \sqrt{3} \]

---

Шаг 2: Анализ решений

Теперь у нас есть два возможных значения \(\sin x\):

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{и} \quad \sin x = - \sqrt{3} \]

Но нужно учесть ограничения:

• Значение \(\sin x\) находится в диапазоне \([-1, 1]\).

Проверим каждое решение:

• \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866\), так что это допустимо.
• \(-\sqrt{3} \approx -1.732\), а это меньше \(-1\), то есть невозможное значение для синуса.

Итог:

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Другое решение не подходит, потому что оно выходит за границы возможных значений \(\sin x\).

---

Шаг 3: Находим \(x\)

Решим уравнение:

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Известное значение синуса — \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) достигается при углах:

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

или в градусах:

\[ x = 60^\circ + 360^\circ k, \quad x= 120^\circ + 360^\circ k, \]

где \(k\) — любое целое число, так как функции периодичны с периодом \(2\pi\).

---

Ответ:

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

или, в градусах:

\[ x = 60^\circ + 360^\circ k, \quad x= 120^\circ + 360^\circ k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Если нужно, могу помочь с конкретным диапазоном или более точной формулировкой!