Два угла треугольника равны 46° и 74° найдите градусные меры дуг, на которые вершины данного треугольника делят описанную окружность

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Задача:

Даны два угла внутри треугольника, равные 46° и 74°. Нужно найти градусные меры дуг описанной окружности, на которые делят вершины этого треугольника.

Что известно:

• Угол A = 46°
• Угол B = 74°

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, найдем третий угол: \[ \angle C = 180° - (\angle A + \angle B) = 180° - (46° + 74°) = 180° - 120° = 60° \]

Шаг 1: Определение дуг, соответствующих вершинам треугольника

В описанной окружности (описанной около треугольника) существует важное свойство:

• Углы треугольника при вершинах равны полусумме дуг, на которые делят эти вершины.

Или, иначе говоря,: \[ \text{Угол при вершине } A = \frac{1}{2} \text{ дуги, противоположной } A \] Аналогично для вершины B и C.

Обозначим дуги, на которые делят вершины:

• дуга, противоположная вершине A: \( a \)
• дуга, противоположная вершине B: \( b \)
• дуга, противоположная вершине C: \( c \)

Шаг 2: Связь углов и дуг

Поскольку угол у вершины равен половине дуги, противоречной ей, можем написать: \[ \angle A = \frac{b + c}{2} \] \[ \angle B = \frac{a + c}{2} \] \[ \angle C = \frac{a + b}{2} \]

Подставим известные значения: \[ 46° = \frac{b + c}{2} \Rightarrow b + c = 92° \] \[ 74° = \frac{a + c}{2} \Rightarrow a + c = 148° \] \[ 60° = \frac{a + b}{2} \Rightarrow a + b = 120° \]

Шаг 3: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система: \[ b + c = 92 \quad (1) \] \[ a + c = 148 \quad (2) \] \[ a + b = 120 \quad (3) \]

Вычитая (1) из (2): \[ (a + c) - (b + c) = 148 - 92 \] \[ a - b = 56 \]

Также из (3): \[ a + b = 120 \]

Теперь решим систему: \[ a - b = 56 \] \[ a + b = 120 \]

Сложим оба уравнения: \[ (a - b) + (a + b) = 56 + 120 \] \[ 2a = 176 \Rightarrow a = 88° \]

Тогда из (3): \[ 88 + b = 120 \Rightarrow b = 120 - 88 = 32° \]

Из (1): \[ b + c = 92 \Rightarrow 32 + c = 92 \Rightarrow c = 92 - 32 = 60° \]

Итог:

• дуга, противоположная вершине \(A\) (или \(a\)) равна 88°.
• дуга, противоположная вершине \(B\) (\(b\)) — 32°.
• дуга, противоположная вершине \(C\) (\(c\)) — 60°.

Ответ:

Дуги, на которые вершины делят описанную окружность, равны:

• Вершина \(A\): 88°
• Вершина \(B\): 32°
• Вершина \(C\): 60°

Если нужны дополнительные разъяснения, обращайтесь!