Найдите точеу максимума функции y=x3+30x2+15

Давайте решим задачу нахождения точки максимума функции \( y = x^3 + 30x^2 + 15 \). Я подробно объясню каждый шаг. Шаг 1. Найдем первую производную функции \( y' \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 30x^2 + 15) \] Производная каждого члена: - \( \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2 \) - \( \frac{d}{dx} 30x^2 = 60x \) - \( \frac{d}{dx} 15 = 0 \) Итак, \[ y' = 3x^2 + 60x \] Шаг 2. Найдем критические точки, при которых \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 60x = 0 \] Вынесем за скобки общий множитель: \[ 3x(x + 20) = 0 \] Отсюда получаем два решения: \[ 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ x + 20 = 0 \Rightarrow x = -20 \] Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -20 \). Шаг 3. Определим характер этих точек (максимум или минимум). Для этого возьмем вторую производную \( y'' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 60x) \] Производная каждого члена: - \( \frac{d}{dx} 3x^2 = 6x \) - \( \frac{d}{dx} 60x = 60 \) Итак, \[ y'' = 6x + 60 \] Шаг 4. Оценим сумму \( y'' \) в критических точках: - В точке \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6 \cdot 0 + 60 = 60 > 0 \] Это означает, что в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный минимум. - В точке \( x = -20 \): \[ y''(-20) = 6 \cdot (-20) + 60 = -120 + 60 = -60 < 0 \] Это означает, что в точке \( x = -20 \) функция достигает локального максимума. Шаг 5. Найдем значение функции в точке \( x = -20 \): \[ y(-20) = (-20)^3 + 30 \cdot (-20)^2 + 15 \] Рассчитаем шаг за шагом: - \( (-20)^3 = -8000 \) - \( (-20)^2 = 400 \) - \( 30 \times 400 = 12000 \) Тогда: \[ y(-20) = -8000 + 12000 + 15 = 4000 + 15 = 4015 \] Итак, точка \( x = -20 \) дает локальный максимум, и значение функции там равно \( 4015 \). **Ответ:** - Точка максимума: \( x = -20 \) - Максимальное значение функции: \( y = 4015 \). Если нужно, я могу помочь с графиком или ответить на дополнительные вопросы!