найдите точеу максимума функции y=x3+30x2+15
Давайте решим задачу нахождения точки максимума функции \( y = x^3 + 30x^2 + 15 \). Я подробно объясню каждый шаг.
Шаг 1. Найдем первую производную функции \( y' \).
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 30x^2 + 15) \]
Производная каждого члена:
- \( \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2 \)
- \( \frac{d}{dx} 30x^2 = 60x \)
- \( \frac{d}{dx} 15 = 0 \)
Итак,
\[ y' = 3x^2 + 60x \]
Шаг 2. Найдем критические точки, при которых \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 + 60x = 0 \]
Вынесем за скобки общий множитель:
\[ 3x(x + 20) = 0 \]
Отсюда получаем два решения:
\[ 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ x + 20 = 0 \Rightarrow x = -20 \]
Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = -20 \).
Шаг 3. Определим характер этих точек (максимум или минимум). Для этого возьмем вторую производную \( y'' \):
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 60x) \]
Производная каждого члена:
- \( \frac{d}{dx} 3x^2 = 6x \)
- \( \frac{d}{dx} 60x = 60 \)
Итак,
\[ y'' = 6x + 60 \]
Шаг 4. Оценим сумму \( y'' \) в критических точках:
- В точке \( x = 0 \):
\[ y''(0) = 6 \cdot 0 + 60 = 60 > 0 \]
Это означает, что в точке \( x = 0 \) функция имеет локальный минимум.
- В точке \( x = -20 \):
\[ y''(-20) = 6 \cdot (-20) + 60 = -120 + 60 = -60 < 0 \]
Это означает, что в точке \( x = -20 \) функция достигает локального максимума.
Шаг 5. Найдем значение функции в точке \( x = -20 \):
\[ y(-20) = (-20)^3 + 30 \cdot (-20)^2 + 15 \]
Рассчитаем шаг за шагом:
- \( (-20)^3 = -8000 \)
- \( (-20)^2 = 400 \)
- \( 30 \times 400 = 12000 \)
Тогда:
\[ y(-20) = -8000 + 12000 + 15 = 4000 + 15 = 4015 \]
Итак, точка \( x = -20 \) дает локальный максимум, и значение функции там равно \( 4015 \).
Ответ:
- Точка максимума: \( x = -20 \)
- Максимальное значение функции: \( y = 4015 \).
Если нужно, я могу помочь с графиком или ответить на дополнительные вопросы!
