Дана равнобедренная трапеция с основаниями 3 см и 7 см, в которую вписана кружность. Найдите площадь трапеции.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый момент.
Задача:
Дана равнобедренная трапеция с основаниями 3 см и 7 см, в которую вписана круг. Нужно найти площадь трапеции.
Шаг 1. Запишем известные данные:
- Базовые стороны трапеции: \( AB = 7 \) см и \( DC = 3 \) см.
- Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны одинаковые и углы при основаниях равны.
- Вписана круг, что важно — это условие даст свои свойства.
Шаг 2. Что значит "вписана круг"?
Когда в трапецию вписана окружность, это означает, что окружность касается всех четырех сторон.
Это возможно только в трапеции с равными суммами оснований, то есть:
\[ AB + DC = \text{сумма длин боковых сторон} \]
Но в конкретике, для трапеции, внутри которой можно вписать круг, существует важное условие:
Сумма длин боковых сторон равна сумме оснований.
Поскольку трапеция равнобедренная и в нее вписан круг, то:
\[ AD + BC = AB + DC \]
Но так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:
\[ AD = BC \]
Итак,
\[ 2 \times AD = AB + DC \] \[ 2 \times AD = 7 + 3 = 10 \] \[ AD = BC = 5\, \text{см} \]
Шаг 3. Построение схемы и определение высоты
Обозначим:
- \( h \) — высота трапеции, которую нужно найти.
- Основания: \( AB = 7 \) см (верхнее), \( DC = 3 \) см (нижнее).
- Боковые стороны: \( AD = BC = 5 \) см.
Сделаем чертеж:
\[ \text{Основания: } AB = 7\, \text{см} \quad \text{и} \quad DC = 3\, \text{см} \]
Боковые стороны \( AD \) и \( BC \) равны 5 см, между ними — вертикальна высота \( h \).
Разделим верхнее основание \( AB \) на три части:
по \( x \) с каждой стороны (отдельных переменных):
- На нижней стороне \( DC \) длина 3 см.
- Верхняя сторона — 7 см.
Отметим точку \( E \) — точку соприкосновения окружности с боковой стороной \( AD \). Аналогично для другой стороны.
Шаг 4. Определение позиций точек касания и геометрия
Поскольку окружность вписана в трапецию, она касается всех четырех сторон. В этом случае:
- Свойство вписанных окружностей: для трапеции с вписанной окружностью сумма длин оснований равна сумме боковых сторон (что подтверждено ранее).
- Высота \( h \), соединяющая основания, опускается из центра окружности.
Шаг 5. Условие равенства длины боковых сторон и высоты
Рассмотрим основание с вершиной \( D \) и \( C \):
- Вписанная окружность касается боковых сторон \( AD \) и \( BC \).
- Вписанная окружность касается основания \( DC = 3 \) см. Точка касания — это точка \( F \).
Проводим перпендикуляр из центра окружности к основанию \( DC \). Пусть \( O \) — центр окружности, \( ON \) — высота.
Длина основания \( DC \) равна 3 см, а боковые стороны равны 5 см.
Шаг 6. Использование геометрических свойств и вычисление высоты \( h \)
Рассмотрим треугольники:
- Высота \( h \) делит трапецию пополам и образует прямоугольные треугольники.
Обозначим:
- \( x \) — горизонтальное смещение от центра основания \( DC \) до точки касания окружности.
- Тогда, по теореме Пифагора:
\[ AD^2 = h^2 + x^2 \] \[ 5^2 = h^2 + x^2 \] \[ 25 = h^2 + x^2 \]
Также длина \( DC = 3 \), а длина \( AB = 7 \).
Рассмотрим разницу между основаниями и расположением боковых сторон.
Общая разница — \( 7 - 3 = 4 \) см.
Поскольку трапеция равнобедренная, \( x \) — горизонтальное смещение с каждой стороны:
\[ 2x = 4 \implies x = 2 \]
Подставим в уравнение:
\[ h^2 + 2^2 = 25 \implies h^2 + 4 = 25 \implies h^2 = 21 \] \[ h = \sqrt{21} \]
**Шаг 7. Нахождение площади трапеции
Формула площади:
\[ S = \frac{(AB + DC)}{2} \times h \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{7 + 3}{2} \times \sqrt{21} = \frac{10}{2} \times \sqrt{21} = 5 \times \sqrt{21} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь трапеции} = 5 \sqrt{21} \text{ см}^2 } \]
Это приблизительно равно:
\[ 5 \times 4.58 \approx 22.9\, \text{см}^2 \]
Если нужно более подробное объяснение или есть вопросы — обращайтесь!
