Дана равнобедренная трапеция с основаниями 3 см и 7 см, в которую вписана кружность. Найдите площадь трапеции.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый момент. **Задача:** Дана равнобедренная трапеция с основаниями 3 см и 7 см, в которую вписана круг. Нужно найти площадь трапеции. --- ### Шаг 1. Запишем известные данные: - Базовые стороны трапеции: \( AB = 7 \) см и \( DC = 3 \) см. - Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны одинаковые и углы при основаниях равны. - Вписана круг, что важно — это условие даст свои свойства. --- ### Шаг 2. Что значит "вписана круг"? Когда в трапецию вписана окружность, это означает, что окружность касается всех четырех сторон. Это возможно только в **трапеции с равными суммами оснований**, то есть: \[ AB + DC = \text{сумма длин боковых сторон} \] Но в конкретике, для трапеции, внутри которой можно вписать круг, существует важное условие: **Сумма длин боковых сторон равна сумме оснований.** Поскольку трапеция равнобедренная и в нее вписан круг, то: \[ AD + BC = AB + DC \] Но так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \[ AD = BC \] Итак, \[ 2 \times AD = AB + DC \] \[ 2 \times AD = 7 + 3 = 10 \] \[ AD = BC = 5\, \text{см} \] ### Шаг 3. Построение схемы и определение высоты Обозначим: - \( h \) — высота трапеции, которую нужно найти. - Основания: \( AB = 7 \) см (верхнее), \( DC = 3 \) см (нижнее). - Боковые стороны: \( AD = BC = 5 \) см. Сделаем чертеж: \[ \text{Основания: } AB = 7\, \text{см} \quad \text{и} \quad DC = 3\, \text{см} \] Боковые стороны \( AD \) и \( BC \) равны 5 см, между ними — вертикальна высота \( h \). Разделим верхнее основание \( AB \) на три части: по \( x \) с каждой стороны (отдельных переменных): - На нижней стороне \( DC \) длина 3 см. - Верхняя сторона — 7 см. Отметим точку \( E \) — точку соприкосновения окружности с боковой стороной \( AD \). Аналогично для другой стороны. --- ### Шаг 4. Определение позиций точек касания и геометрия Поскольку окружность вписана в трапецию, она касается всех четырех сторон. В этом случае: - Свойство вписанных окружностей: для трапеции с вписанной окружностью сумма длин оснований равна сумме боковых сторон (что подтверждено ранее). - Высота \( h \), соединяющая основания, опускается из центра окружности. --- ### Шаг 5. Условие равенства длины боковых сторон и высоты Рассмотрим основание с вершиной \( D \) и \( C \): - Вписанная окружность касается боковых сторон \( AD \) и \( BC \). - Вписанная окружность касается основания \( DC = 3 \) см. Точка касания — это точка \( F \). Проводим перпендикуляр из центра окружности к основанию \( DC \). Пусть \( O \) — центр окружности, \( ON \) — высота. Длина основания \( DC \) равна 3 см, а боковые стороны равны 5 см. --- ### Шаг 6. Использование геометрических свойств и вычисление высоты \( h \) Рассмотрим треугольники: - Высота \( h \) делит трапецию пополам и образует прямоугольные треугольники. Обозначим: - \( x \) — горизонтальное смещение от центра основания \( DC \) до точки касания окружности. - Тогда, по теореме Пифагора: \[ AD^2 = h^2 + x^2 \] \[ 5^2 = h^2 + x^2 \] \[ 25 = h^2 + x^2 \] Также длина \( DC = 3 \), а длина \( AB = 7 \). Рассмотрим разницу между основаниями и расположением боковых сторон. Общая разница — \( 7 - 3 = 4 \) см. Поскольку трапеция равнобедренная, \( x \) — горизонтальное смещение с каждой стороны: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \] Подставим в уравнение: \[ h^2 + 2^2 = 25 \implies h^2 + 4 = 25 \implies h^2 = 21 \] \[ h = \sqrt{21} \] --- ### **Шаг 7. Нахождение площади трапеции Формула площади: \[ S = \frac{(AB + DC)}{2} \times h \] Подставим значения: \[ S = \frac{7 + 3}{2} \times \sqrt{21} = \frac{10}{2} \times \sqrt{21} = 5 \times \sqrt{21} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь трапеции} = 5 \sqrt{21} \text{ см}^2 } \] Это приблизительно равно: \[ 5 \times 4.58 \approx 22.9\, \text{см}^2 \] --- Если нужно более подробное объяснение или есть вопросы — обращайтесь!