Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая — в отношении 3:7. По сколько вёдер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 вёдер смеси, в которой массы…

Рассмотрим задачу подробно и пошагово.

Дано:

• Бочка 1: смесь спирта и воды в отношении 2:3.
• Бочка 2: смесь спирта и воды в отношении 3:7.
• Нужно взять x вёдер из первой бочки и y вёдер из второй.
• Итоговая смесь — 12 вёдер, с отношением спирта и воды 3:5.

---

Шаг 1. Обозначим количества спирта и воды в каждом вёдере.

Бочка 1:
Общий объём смеси в одном вёдер — 1. (это условное обозначение)
Соотношение спирта и воды — 2:3.

• Спирт в 1 вёдре: \(\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}\)
• Вода в 1 вёдре: \(\frac{3}{5}\)

Бочка 2:
Соотношение — 3:7.

• Спирт: \(\frac{3}{10}\)
• Вода: \(\frac{7}{10}\)

---

Шаг 2. Обозначим переменные.

Пусть:

• \(x\) — количество вёдер взятых из первой бочки
• \(y\) — количество вёдер взятых из второй бочки

Общий объём итоговой смеси:
\[ x + y = 12 \quad \text{(вёдер)} \]

---

Шаг 3. Найдём массу спирта и воды в итоговой смеси.

Спирт:

Из первой бочки:
\[ \frac{2}{5} \times x \]

Из второй бочки:
\[ \frac{3}{10} \times y \]

Общий спирт:
\[ S = \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y \]

Вода:

Из первой бочки:
\[ \frac{3}{5} \times x \]

Из второй бочки:
\[ \frac{7}{10} \times y \]

Общий воды:
\[ W = \frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y \]

---

Шаг 4. Условие на отношение в конечной смеси.

Общая смесь содержит 12 вёдер, в которых отношение спирта к воде — 3:5.

Это означает:
\[ \frac{S}{W} = \frac{3}{5} \]

Подставим выражения для S и W:
\[ \frac{\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y}{\frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y} = \frac{3}{5} \]

---

Шаг 5. Упростим уравнение.

Приведём числители и знаменатели к общему знаменателю:

\(\frac{2}{5}x = \frac{4}{10}x\),
\(\frac{3}{10}y\) — уже с общим знаменателем,
\(\frac{3}{5}x = \frac{6}{10}x\),
\(\frac{7}{10}y\) — уже с общим знаменателем.

Подставим:
\[ \frac{\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y}{\frac{6}{10}x + \frac{7}{10} y} = \frac{3}{5} \]

Упростим, умножив числитель и знаменатель на 10:
\[ \frac{4x + 3y}{6x + 7y} = \frac{3}{5} \]

---

Шаг 6. Решим уравнение.

Рассмотрим:
\[ \frac{4x + 3y}{6x + 7y} = \frac{3}{5} \]

Перемножим крест-накрест:
\[ 5 (4x + 3y) = 3 (6x + 7y) \]

Раскроем скобки:
\[ 20x + 15y = 18x + 21y \]

Перенесем все в одну сторону:
\[ 20x - 18x + 15y - 21y = 0 \] \[ 2x - 6y = 0 \]

или
\[ 2x = 6y \]

или
\[ x = 3y \]

---

Шаг 7. Учтём условие о полном объёме.

Общий объём:
\[ x + y = 12 \]

Подставим \(x = 3y\): \[ 3y + y = 12 \] \[ 4y = 12 \] \[ y = 3 \]

Следовательно,
\[ x = 3 \times 3 = 9 \]

---

Ответ:

Из первой бочки нужно взять 9 вёдер, а из второй — 3 вёдра.

---

Если нужна ещё помощь, обращайся!