Рассмотрим задачу подробно и пошагово.
Дано:
- Бочка 1: смесь спирта и воды в отношении 2:3.
- Бочка 2: смесь спирта и воды в отношении 3:7.
- Нужно взять x вёдер из первой бочки и y вёдер из второй.
- Итоговая смесь — 12 вёдер, с отношением спирта и воды 3:5.
Шаг 1. Обозначим количества спирта и воды в каждом вёдере.
Бочка 1:
Общий объём смеси в одном вёдер — 1. (это условное обозначение)
Соотношение спирта и воды — 2:3.
- Спирт в 1 вёдре: (\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5})
- Вода в 1 вёдре: (\frac{3}{5})
Бочка 2:
Соотношение — 3:7.
- Спирт: (\frac{3}{10})
- Вода: (\frac{7}{10})
Шаг 2. Обозначим переменные.
Пусть:
- (x) — количество вёдер взятых из первой бочки
- (y) — количество вёдер взятых из второй бочки
Общий объём итоговой смеси:
[ x + y = 12 \quad \text{(вёдер)} ]
Шаг 3. Найдём массу спирта и воды в итоговой смеси.
Спирт:
Из первой бочки:
[ \frac{2}{5} \times x ]
Из второй бочки:
[ \frac{3}{10} \times y ]
Общий спирт:
[ S = \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y ]
Вода:
Из первой бочки:
[ \frac{3}{5} \times x ]
Из второй бочки:
[ \frac{7}{10} \times y ]
Общий воды:
[ W = \frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y ]
Шаг 4. Условие на отношение в конечной смеси.
Общая смесь содержит 12 вёдер, в которых отношение спирта к воде — 3:5.
Это означает:
[
\frac{S}{W} = \frac{3}{5}
]
Подставим выражения для S и W:
[
\frac{\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y}{\frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y} = \frac{3}{5}
]
Шаг 5. Упростим уравнение.
Приведём числители и знаменатели к общему знаменателю:
(\frac{2}{5}x = \frac{4}{10}x),
(\frac{3}{10}y) — уже с общим знаменателем,
(\frac{3}{5}x = \frac{6}{10}x),
(\frac{7}{10}y) — уже с общим знаменателем.
Подставим:
[
\frac{\frac{4}{10}x + \frac{3}{10}y}{\frac{6}{10}x + \frac{7}{10} y} = \frac{3}{5}
]
Упростим, умножив числитель и знаменатель на 10:
[
\frac{4x + 3y}{6x + 7y} = \frac{3}{5}
]
Шаг 6. Решим уравнение.
Рассмотрим:
[
\frac{4x + 3y}{6x + 7y} = \frac{3}{5}
]
Перемножим крест-накрест:
[
5 (4x + 3y) = 3 (6x + 7y)
]
Раскроем скобки:
[
20x + 15y = 18x + 21y
]
Перенесем все в одну сторону:
[
20x - 18x + 15y - 21y = 0
]
[
2x - 6y = 0
]
или
[
2x = 6y
]
или
[
x = 3y
]
Шаг 7. Учтём условие о полном объёме.
Общий объём:
[
x + y = 12
]
Подставим (x = 3y):
[
3y + y = 12
]
[
4y = 12
]
[
y = 3
]
Следовательно,
[
x = 3 \times 3 = 9
]
Ответ:
Из первой бочки нужно взять 9 вёдер, а из второй — 3 вёдра.
Если нужна ещё помощь, обращайся!
