Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап решения.
Дано:
| Размер заработной платы (руб.) |
Численность продавцов, чел. |
| 8000 – 8300 |
20 |
| 8300 – 8600 |
16 |
| 8600 – 9200 |
22 |
| 9200 – 9800 |
10 |
| Свышe 9800 |
12 |
Шаг 1: Определение условий задачи
Нам нужно найти:
- средний размер зарплаты за месяц
- среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)
- коэффициент вариации (отношение стандартного отклонения к среднему, выраженное в процентах)
Шаг 2: Вычисление среднего размера заработной платы
2.1 Построение групповых средних
Так как данные разбиты по интервалам, для вычисления среднего используем формулу для группированных данных:
[ \bar{x} = \frac{\sum (m_i \times f_i)}{\sum f_i} ]
где:
- ( m_i ) — примерное значение зарплаты для каждого интервала,
- ( f_i ) — численность работников в интервале.
2.2 Определение примерных значений ( m_i )
Для интервалов:
- 8000-8300: ( m_1 = \frac{8000 + 8300}{2} = 8150 )
- 8300-8600: ( m_2 = \frac{8300 + 8600}{2} = 8450 )
- 8600-9200: ( m_3 = \frac{8600 + 9200}{2} = 8900 )
- 9200-9800: ( m_4 = \frac{9200 + 9800}{2} = 9500 )
- Свышe 9800: здесь примем, что средняя примерно равна 10 200 (учитывая, что интервал неограничен, можно взять условно 10200)
2.3 Расчет суммы ( \sum m_i \times f_i )
[
\text{Сумма} = (8150 \times 20) + (8450 \times 16) + (8900 \times 22) + (9500 \times 10) + (10200 \times 12)
]
Вычислим:
- ( 8150 \times 20 = 163,000 )
- ( 8450 \times 16 = 135,200 )
- ( 8900 \times 22 = 195,800 )
- ( 9500 \times 10 = 95,000 )
- ( 10200 \times 12 = 122,400 )
Общая сумма:
[ 163,000 + 135,200 + 195,800 + 95,000 + 122,400 = 711,400 ]
2.4 Общая численность работников:
[ N = 20 + 16 + 22 + 10 + 12 = 80 ]
2.5 Средний заработок:
[
\bar{x} = \frac{711,400}{80} = 8,892.5 \text{ руб.}
]
Шаг 3: Вычисление среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения)
Формула для группированных данных:
[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i (m_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}}
]
Расчитаем для каждого интервала:
- ( (m_1 - \bar{x}) = 8150 - 8892.5 = -742.5 )
- ( (m_2 - \bar{x}) = 8450 - 8892.5 = -442.5 )
- ( (m_3 - \bar{x}) = 8900 - 8892.5 = 7.5 )
- ( (m_4 - \bar{x}) = 9500 - 8892.5 = 607.5 )
- ( (m_5 - \bar{x}) = 10200 - 8892.5 = 1307.5 )
Теперь возьмем квадраты разностей и умножим на численность:
[
\sum f_i (m_i - \bar{x})^2 =
20 \times (-742.5)^2 +
16 \times (-442.5)^2 +
22 \times (7.5)^2 +
10 \times (607.5)^2 +
12 \times (1307.5)^2
]
Вычислим каждое:
- ( (-742.5)^2 = 551,306.25 )
- ( (-442.5)^2 = 196,006.25 )
- ( 7.5^2 = 56.25 )
- ( 607.5^2 = 369,006.25 )
- ( 1307.5^2 = 1,708,906.25 )
Умножим на число:
- ( 20 \times 551,306.25 = 11,026,125 )
- ( 16 \times 196,006.25 = 3,136,100 )
- ( 22 \times 56.25 = 1,237.5 )
- ( 10 \times 369,006.25 = 3,690,062.5 )
- ( 12 \times 1,708,906.25 = 20,506,875 )
Сумма:
[ 11,026,125 + 3,136,100 + 1,237.5 + 3,690,062.5 + 20,506,875 = 38,360,400 ]
Теперь находим стандартное отклонение:
[
\sigma = \sqrt{\frac{38,360,400}{80}} = \sqrt{479,505} \approx 692.5 \text{ руб.}
]
Шаг 4: Вычисление коэффициента вариации
[
CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100%
]
[
CV = \frac{692.5}{8892.5} \times 100% \approx 7.78%
]
Итоговые результаты:
- Средний размер заработной платы: 8892.5 руб.
- Стандартное отклонение: 692.5 руб.
- Коэффициент вариации: 7.78%
Экономический смысл:
- Средняя зарплата показывает типичный уровень оплаты труда продавцов.
- Стандартное отклонение свидетельствует о разбросе зарплат вокруг среднего, т.е., насколько сильно варьируются доходы продавцов.
- Коэффициент вариации показывает относительный разброс — около 7.78%, что указывает на умеренную вариацию доходов. Чем ниже этот показатель, тем более однородна оплата в коллективе.
Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить какую-то часть — спрашивайте!
