Задача. Для изучения оплаты труда продавцов предприятий розничной торговли произведена 5%-ная механическая выборка, по результатам которой получены следующие данные: Размер…

Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап решения.

Дано:

Размер заработной платы (руб.)	Численность продавцов, чел.
8000 – 8300	20
8300 – 8600	16
8600 – 9200	22
9200 – 9800	10
Свышe 9800	12

---

Шаг 1: Определение условий задачи

Нам нужно найти:

1. средний размер зарплаты за месяц
2. среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)
3. коэффициент вариации (отношение стандартного отклонения к среднему, выраженное в процентах)

Шаг 2: Вычисление среднего размера заработной платы

2.1 Построение групповых средних

Так как данные разбиты по интервалам, для вычисления среднего используем формулу для группированных данных:

\[ \bar{x} = \frac{\sum (m_i \times f_i)}{\sum f_i} \]

где:

• \( m_i \) — примерное значение зарплаты для каждого интервала,
• \( f_i \) — численность работников в интервале.

2.2 Определение примерных значений \( m_i \)

Для интервалов:

• 8000-8300: \( m_1 = \frac{8000 + 8300}{2} = 8150 \)
• 8300-8600: \( m_2 = \frac{8300 + 8600}{2} = 8450 \)
• 8600-9200: \( m_3 = \frac{8600 + 9200}{2} = 8900 \)
• 9200-9800: \( m_4 = \frac{9200 + 9800}{2} = 9500 \)
• Свышe 9800: здесь примем, что средняя примерно равна 10 200 (учитывая, что интервал неограничен, можно взять условно 10200)

2.3 Расчет суммы \( \sum m_i \times f_i \)

\[ \text{Сумма} = (8150 \times 20) + (8450 \times 16) + (8900 \times 22) + (9500 \times 10) + (10200 \times 12) \]

Вычислим:

• \( 8150 \times 20 = 163\,000 \)
• \( 8450 \times 16 = 135\,200 \)
• \( 8900 \times 22 = 195\,800 \)
• \( 9500 \times 10 = 95\,000 \)
• \( 10200 \times 12 = 122\,400 \)

Общая сумма:
\[ 163\,000 + 135\,200 + 195\,800 + 95\,000 + 122\,400 = 711\,400 \]

2.4 Общая численность работников:

\[ N = 20 + 16 + 22 + 10 + 12 = 80 \]

2.5 Средний заработок:

\[ \bar{x} = \frac{711\,400}{80} = 8\,892.5 \text{ руб.} \]

---

Шаг 3: Вычисление среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения)

Формула для группированных данных:
\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum f_i (m_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}} \]

Расчитаем для каждого интервала:

• \( (m_1 - \bar{x}) = 8150 - 8892.5 = -742.5 \)
• \( (m_2 - \bar{x}) = 8450 - 8892.5 = -442.5 \)
• \( (m_3 - \bar{x}) = 8900 - 8892.5 = 7.5 \)
• \( (m_4 - \bar{x}) = 9500 - 8892.5 = 607.5 \)
• \( (m_5 - \bar{x}) = 10200 - 8892.5 = 1307.5 \)

Теперь возьмем квадраты разностей и умножим на численность:

\[ \sum f_i (m_i - \bar{x})^2 = 20 \times (-742.5)^2 + 16 \times (-442.5)^2 + 22 \times (7.5)^2 + 10 \times (607.5)^2 + 12 \times (1307.5)^2 \]

Вычислим каждое:

• \( (-742.5)^2 = 551,306.25 \)
• \( (-442.5)^2 = 196,006.25 \)
• \( 7.5^2 = 56.25 \)
• \( 607.5^2 = 369,006.25 \)
• \( 1307.5^2 = 1,708,906.25 \)

Умножим на число:

• \( 20 \times 551,306.25 = 11,026,125 \)
• \( 16 \times 196,006.25 = 3,136,100 \)
• \( 22 \times 56.25 = 1,237.5 \)
• \( 10 \times 369,006.25 = 3,690,062.5 \)
• \( 12 \times 1,708,906.25 = 20,506,875 \)

Сумма:
\[ 11,026,125 + 3,136,100 + 1,237.5 + 3,690,062.5 + 20,506,875 = 38,360,400 \]

Теперь находим стандартное отклонение:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{38,360,400}{80}} = \sqrt{479,505} \approx 692.5 \text{ руб.} \]

---

Шаг 4: Вычисление коэффициента вариации

\[ CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\% \]

\[ CV = \frac{692.5}{8892.5} \times 100\% \approx 7.78\% \]

---

Итоговые результаты:

• Средний размер заработной платы: 8892.5 руб.
• Стандартное отклонение: 692.5 руб.
• Коэффициент вариации: 7.78%

---

Экономический смысл:

• Средняя зарплата показывает типичный уровень оплаты труда продавцов.
• Стандартное отклонение свидетельствует о разбросе зарплат вокруг среднего, т.е., насколько сильно варьируются доходы продавцов.
• Коэффициент вариации показывает относительный разброс — около 7.78%, что указывает на умеренную вариацию доходов. Чем ниже этот показатель, тем более однородна оплата в коллективе.

Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить какую-то часть — спрашивайте!