найди радиус окружности в которую вписан прямоугольный треугольник АВС, где В=90°, АВ=21, ВС=12корень2
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- В треугольнике \( ABC \), где угол \( B = 90^\circ \) (прямой угол).
- \( AB = 21 \)
- \( BC = 12\sqrt{2} \)
Требуется найти радиус вписанной окружности \( r \).
Шаг 1. Назовем стороны
Обозначим стороны треугольника как:
- \( AB = c = 21 \) (против угла \( C \))
- \( BC = a = 12\sqrt{2} \) (против угла \( A \))
- \( AC = b \) (против угла \( B \), то есть гипотенуза)
Так как \( B = 90^\circ \), то: \[ AC \text{ — гипотенуза} \]
Шаг 2. Найти гипотенузу \( AC \)
По теореме Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
Подставим значения: \[ AC^2 = 21^2 + (12\sqrt{2})^2 \]
Вычислим по частям:
- \( 21^2 = 441 \)
- \( (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \times (\sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288 \)
Следовательно: \[ AC^2 = 441 + 288 = 729 \] \[ AC = \sqrt{729} = 27 \]
Шаг 3. Найти площадь \( S \) треугольника
Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 12\sqrt{2} \]
Вычислим: \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 12 \times \sqrt{2} = 10.5 \times 12 \times \sqrt{2} \]
Далее: \[ 10.5 \times 12 = 126 \]
Итак: \[ S = 126\sqrt{2} \]
Шаг 4. Формула радиуса вписанной окружности
Формула радиуса \( r \) для произвольного треугольника: \[ r = \frac{2S}{P} \]
где \( P \) — периметр треугольника.
Шаг 5. Найти периметр \( P \)
\[ P = AB + BC + AC = 21 + 12\sqrt{2} + 27 \] Объединим числовые части: \[ 21 + 27 = 48 \] Итак: \[ P = 48 + 12\sqrt{2} \]
Шаг 6. Вычислить радиус \( r \)
Подставим значения в формулу: \[ r = \frac{2 \times 126\sqrt{2}}{48 + 12\sqrt{2}} \]
Упростим числитель: \[ 2 \times 126\sqrt{2} = 252 \sqrt{2} \]
Теперь запишем: \[ r = \frac{252 \sqrt{2}}{48 + 12 \sqrt{2}} \]
Шаг 7. Упростить делитель
Обозначим делитель за \( D = 48 + 12 \sqrt{2} \).
Для упрощения воспользуемся рационализацией — умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 48 - 12 \sqrt{2} \):
\[ r = \frac{252 \sqrt{2} \times (48 - 12 \sqrt{2})}{(48 + 12 \sqrt{2})(48 - 12 \sqrt{2})} \]
Шаг 8. Найти знаменатель
Используя разность квадратов: \[ (48)^2 - (12 \sqrt{2})^2 \]
Вычислим:
- \( 48^2 = 2304 \)
- \( (12 \sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288 \)
Следовательно: \[ D^2 = 2304 - 288 = 2016 \]
Шаг 9. Найти числитель
Раскроем числитель: \[ 252 \sqrt{2} \times (48 - 12 \sqrt{2}) = 252 \sqrt{2} \times 48 - 252 \sqrt{2} \times 12 \sqrt{2} \]
Вычислим по частям:
- \( 252 \sqrt{2} \times 48 = (252 \times 48) \times \sqrt{2} \)
Вычислим \( 252 \times 48 \): \[ 252 \times 48 = (250 + 2) \times 48 = 250 \times 48 + 2 \times 48 = 12000 + 96 = 12096 \]
Итак: \[ 12096 \sqrt{2} \]
Теперь второй член: \[ 252 \sqrt{2} \times 12 \sqrt{2} = 252 \times 12 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 252 \times 12 \times 2 \]
Вычислим: \[ 252 \times 12 = 3024 \]
И умножим на 2: \[ 3024 \times 2 = 6048 \]
Теперь числитель: \[ 12096 \sqrt{2} - 6048 \]
Шаг 10. Итоговое выражение радиуса
Запишем окончательно: \[ r = \frac{12096 \sqrt{2} - 6048}{2016} \]
Разделим числитель по частям:
\( \frac{12096 \sqrt{2}}{2016} = \frac{12096}{2016} \sqrt{2} \)
\( \frac{6048}{2016} \)
Вычислим:
- \( 2016 \times 6 = 12096 \), значит: \[ \frac{12096}{2016} = 6 \]
- Аналогично: \[ \frac{6048}{2016} = 3 \]
Итак: \[ r = 6 \sqrt{2} - 3 \]
Ответ:
\[ \boxed{ r = 6 \sqrt{2} - 3 } \]
Это — радиус вписанной окружности треугольника \( ABC \).
