Найди радиус окружности в которую вписан прямоугольный треугольник АВС, где В=90°, АВ=21, ВС=12корень2

Давайте решим задачу по шагам. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \), где угол \( B = 90^\circ \) (прямой угол). - \( AB = 21 \) - \( BC = 12\sqrt{2} \) Требуется найти радиус вписанной окружности \( r \). --- ### Шаг 1. Назовем стороны Обозначим стороны треугольника как: - \( AB = c = 21 \) (против угла \( C \)) - \( BC = a = 12\sqrt{2} \) (против угла \( A \)) - \( AC = b \) (против угла \( B \), то есть гипотенуза) Так как \( B = 90^\circ \), то: \[ AC \text{ — гипотенуза} \] ### Шаг 2. Найти гипотенузу \( AC \) По теореме Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Подставим значения: \[ AC^2 = 21^2 + (12\sqrt{2})^2 \] Вычислим по частям: - \( 21^2 = 441 \) - \( (12\sqrt{2})^2 = 12^2 \times (\sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288 \) Следовательно: \[ AC^2 = 441 + 288 = 729 \] \[ AC = \sqrt{729} = 27 \] ### Шаг 3. Найти площадь \( S \) треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \] Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 12\sqrt{2} \] Вычислим: \[ S = \frac{1}{2} \times 21 \times 12 \times \sqrt{2} = 10.5 \times 12 \times \sqrt{2} \] Далее: \[ 10.5 \times 12 = 126 \] Итак: \[ S = 126\sqrt{2} \] --- ### Шаг 4. Формула радиуса вписанной окружности Формула радиуса \( r \) для произвольного треугольника: \[ r = \frac{2S}{P} \] где \( P \) — периметр треугольника. ### Шаг 5. Найти периметр \( P \) \[ P = AB + BC + AC = 21 + 12\sqrt{2} + 27 \] Объединим числовые части: \[ 21 + 27 = 48 \] Итак: \[ P = 48 + 12\sqrt{2} \] --- ### Шаг 6. Вычислить радиус \( r \) Подставим значения в формулу: \[ r = \frac{2 \times 126\sqrt{2}}{48 + 12\sqrt{2}} \] Упростим числитель: \[ 2 \times 126\sqrt{2} = 252 \sqrt{2} \] Теперь запишем: \[ r = \frac{252 \sqrt{2}}{48 + 12 \sqrt{2}} \] ### Шаг 7. Упростить делитель Обозначим делитель за \( D = 48 + 12 \sqrt{2} \). Для упрощения воспользуемся рационализацией — умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 48 - 12 \sqrt{2} \): \[ r = \frac{252 \sqrt{2} \times (48 - 12 \sqrt{2})}{(48 + 12 \sqrt{2})(48 - 12 \sqrt{2})} \] ### Шаг 8. Найти знаменатель Используя разность квадратов: \[ (48)^2 - (12 \sqrt{2})^2 \] Вычислим: - \( 48^2 = 2304 \) - \( (12 \sqrt{2})^2 = 144 \times 2 = 288 \) Следовательно: \[ D^2 = 2304 - 288 = 2016 \] ### Шаг 9. Найти числитель Раскроем числитель: \[ 252 \sqrt{2} \times (48 - 12 \sqrt{2}) = 252 \sqrt{2} \times 48 - 252 \sqrt{2} \times 12 \sqrt{2} \] Вычислим по частям: - \( 252 \sqrt{2} \times 48 = (252 \times 48) \times \sqrt{2} \) Вычислим \( 252 \times 48 \): \[ 252 \times 48 = (250 + 2) \times 48 = 250 \times 48 + 2 \times 48 = 12000 + 96 = 12096 \] Итак: \[ 12096 \sqrt{2} \] Теперь второй член: \[ 252 \sqrt{2} \times 12 \sqrt{2} = 252 \times 12 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 252 \times 12 \times 2 \] Вычислим: \[ 252 \times 12 = 3024 \] И умножим на 2: \[ 3024 \times 2 = 6048 \] Теперь числитель: \[ 12096 \sqrt{2} - 6048 \] --- ### Шаг 10. Итоговое выражение радиуса Запишем окончательно: \[ r = \frac{12096 \sqrt{2} - 6048}{2016} \] Разделим числитель по частям: 1. \( \frac{12096 \sqrt{2}}{2016} = \frac{12096}{2016} \sqrt{2} \) 2. \( \frac{6048}{2016} \) Вычислим: - \( 2016 \times 6 = 12096 \), значит: \[ \frac{12096}{2016} = 6 \] - Аналогично: \[ \frac{6048}{2016} = 3 \] Итак: \[ r = 6 \sqrt{2} - 3 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ r = 6 \sqrt{2} - 3 } \] Это — радиус вписанной окружности треугольника \( ABC \).