С чертежом

Конечно! Вот подробное объяснение решения каждого пункта задачи:

Вариант 2 — решение задач

1. Найти координаты точки B, если точка A (-3; 1) симметрична точке A₁ (9; -5) относительно точки B

• При зеркальном отражении точки A относительно точки B, точка B — это середина отрезка между точки A и симметричной точкой A₁.

• Формула середины отрезка:

  \[ B_x = \frac{A_x + A_{1x}}{2}, \quad B_y = \frac{A_y + A_{1y}}{2} \]

• Подставим значения:

  \[ B_x = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

  \[ B_y = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

• Ответ: Координаты точки B: (3; -2).

2. Найти вершины треугольника ABC и его симметричный треугольник A₁B₁C₁, относительно прямой y=1.

• Вершины исходного треугольника:

  \[ A(-4, 5), \quad B(1, 5), \quad C(-3, -1) \]

• Для нахождения точек A₁, B₁, C₁ после отражения относительно прямой y=1 используем формулу отражения точки относительно горизонтальной прямой y = y₀:

\[ y' = 2 y_0 - y \]

• Рассчитаем новые координаты:

  • Для A(-4, 5):

    \[ y' = 2 \times 1 - 5 = 2 - 5 = -3 \] \[ x' = -4 \quad (\text{x-координата не меняется}) \] A₁(-4; -3)

  • Для B(1, 5):

    \[ y' = 2 \times 1 - 5 = -3 \] \[ B_1(1; -3) \]

  • Для C(-3, -1):

    \[ y' = 2 \times 1 - (-1) = 2 + 1 = 3 \] \[ C_1(-3; 3) \]

• Ответ:

  \[ A_1(-4, -3), \quad B_1(1, -3), \quad C_1(-3, 3) \]

3. Найти вектор a параллельного переноса при которых:

• Прямая y=2x-1 переходит в y=2x+3

• Прямая 2x + 3y=1 переходит в 4x + 6y=5

• Анализ:

Перенос вектора a (dx, dy) переводит каждую точку так, что:

• Перенос фиксирует прямую y = 2x -1 в y = 2x + 3.

  • Значит, через перенос перемещается вертикальное расстояние между этими двумя линиями.

• Аналогично для другой строки.

Найдем вектор переноса:

1. Поскольку первая прямая изначально y=2x-1, а при переносе она становится y=2x+3.

   • Высота между двумя линиями по оси y равна:

     \[ (2x+3) - (2x-1) = 4 \]

   • Поэтому, перенос по вертикали дает смещение dy = 4.

2. Вторая пара линий (2x + 3y=1 и 4x+6y=5):

   • Обе уравнения практически пропорциональны:

     \[ 2x + 3y = 1 \quad \rightarrow \text{исходное} \] \[ 4x + 6y = 5 \quad \rightarrow \text{после переноса} \]

   • Умножим первое уравнение на 2:

     \[ 2(2x + 3y) = 2 \quad \Rightarrow 4x + 6y = 2 \]

   • Но после переноса у нас есть 4x+6y=5, что отличается от 2.

   • Величина смещения по оси y равна:

     \[ \Rightarrow \text{разница} \quad 5 - 2 = 3 \]

   • Тогда, перенос по горизонтали dx = 0, так как уравнения остаются одинаковыми по x, только смещаются по y.

Общий вектор переноса:

\[ \boxed{ a = (0, 4) } \]

Ответ: Вектор a = (0; 4).

4. Найти координаты точки A₁, если при повороте вокруг точки B(2;1) на 30° точка A(6;1) переходит в точку A₁

• Формула поворота точки относительно точки B:

\[ x' = x_B + (x - x_B) \cos \theta - (y - y_B) \sin \theta \] \[ y' = y_B + (x - x_B) \sin \theta + (y - y_B) \cos \theta \]

• Подставим значения:

\[ x = 6, \quad y=1, \quad x_B=2, \quad y_B=1,\quad \theta=30^\circ \]

• Первым найдем разности:

\[ \Delta x = 6 - 2 = 4 \] \[ \Delta y = 1 - 1 = 0 \]

• Значения тригонометрических функций для \(\theta=30^\circ\):

\[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = 0.5 \]

• Вычисляем:

\[ x_1 = 2 + 4 \times 0.866 - 0 \times 0.5 = 2 + 3.464 = 5.464 \]

\[ y_1 = 1 + 4 \times 0.5 + 0 \times 0.866 = 1 + 2 = 3 \]

Ответ: Координаты точки A₁: (5.464; 3).

Если нужны further объяснения или хотите уточнить какой-то пункт, — пишите!