кубик подбросили 5 раз. С какой вероятностью в этих опытах выпадут 2 единицы?
Давайте решим задачу по шагам.
Задача:
Кубик подбросили 5 раз. Нужно найти вероятность того, что в этих 5 опытах выпадут ровно 2 единицы.
Шаг 1: Определение условий задачи
- Кубик — шестигранный, числа от 1 до 6.
- В каждом броске вероятность выпасть на единицу:
\[ p = \frac{1}{6} \] - Вероятность НЕ выпасть на единицу в одном броске:
\[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \] - Нужно найти вероятность, что ровно 2 раза из 5 выпало число 1.
Это задача на биномиальный распределённый случай, где:
- число испытаний: \( n = 5 \)
- число успехов (выпадений 1): \( k = 2 \)
- вероятность успеха в одном испытании: \( p = \frac{1}{6} \)
Шаг 2: Формула биномиальной вероятности
Вероятность ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях задаётся формулой:
\[ P(k; n, p) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \) — число сочетаний.
Шаг 3: Подставим числа
\[ P(2; 5, \frac{1}{6}) = C_{5}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
Вычислим:
- \( C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10 \)
Подставим:
\[ P = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]
Шаг 4: Вычислим каждое слагаемое
\[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
\[ \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \]
Следовательно,
\[ P = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} \]
Объединим дроби:
\[ P = 10 \cdot \frac{125}{36 \cdot 216} \]
Шаг 5: Упростим выражение
В числе:
\[ 36 \times 216 = (6^2) \times (6^3) = 6^{2+3} = 6^{5} = 7776 \]
Итак,
\[ P = 10 \cdot \frac{125}{7776} \]
Упростим числитель:
\[ 10 \times 125 = 1250 \]
Итак,
\[ P = \frac{1250}{7776} \]
Итог:
Вероятность того, что в 5 бросках кубика выпадет ровно 2 раза число 1:
\[ \boxed{ P \approx \frac{1250}{7776} \approx 0.1609 } \]
или примерно 16.09%.
Если нужны дополнительные объяснения или уточнения, пишите!
