Кубик подбросили 5 раз. С какой вероятностью в этих опытах выпадут 2 единицы?

Давайте решим задачу по шагам. **Задача:** Кубик подбросили 5 раз. Нужно найти вероятность того, что в этих 5 опытах выпадут ровно 2 единицы. --- ### Шаг 1: Определение условий задачи - Кубик — шестигранный, числа от 1 до 6. - В каждом броске вероятность выпасть на единицу: \[ p = \frac{1}{6} \] - Вероятность НЕ выпасть на единицу в одном броске: \[ q = 1 - p = \frac{5}{6} \] - Нужно найти вероятность, что ровно 2 раза из 5 выпало число 1. Это задача на биномиальный распределённый случай, где: - число испытаний: \( n = 5 \) - число успехов (выпадений 1): \( k = 2 \) - вероятность успеха в одном испытании: \( p = \frac{1}{6} \) --- ### Шаг 2: Формула биномиальной вероятности Вероятность ровно \( k \) успехов в \( n \) испытаниях задаётся формулой: \[ P(k; n, p) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k} \] где: - \( C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \) — число сочетаний. --- ### Шаг 3: Подставим числа \[ P(2; 5, \frac{1}{6}) = C_{5}^{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \] Вычислим: - \( C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10 \) Подставим: \[ P = 10 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \] --- ### Шаг 4: Вычислим каждое слагаемое \[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \] \[ \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \] Следовательно, \[ P = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} \] Объединим дроби: \[ P = 10 \cdot \frac{125}{36 \cdot 216} \] --- ### Шаг 5: Упростим выражение В числе: \[ 36 \times 216 = (6^2) \times (6^3) = 6^{2+3} = 6^{5} = 7776 \] Итак, \[ P = 10 \cdot \frac{125}{7776} \] Упростим числитель: \[ 10 \times 125 = 1250 \] Итак, \[ P = \frac{1250}{7776} \] ### Итог: **Вероятность того, что в 5 бросках кубика выпадет ровно 2 раза число 1:** \[ \boxed{ P \approx \frac{1250}{7776} \approx 0.1609 } \] или примерно **16.09%**. --- Если нужны дополнительные объяснения или уточнения, пишите!