нечетное число очков». Какова вероятность события А U B? 5. Игральную кость бросают дважды. Событие А - «на первой кости выпало меньше пяти очков», событие В «на второй кости…
Нечетное число очков». Какова вероятность события А U B? 5. Игральную кость бросают дважды. Событие А - «на первой кости выпало меньше пяти очков», событие В «на второй кости выпало меньше пяти очков». C помощью таблицы элементарных исходов найдите вероятность события А П В. (При вычислениях ответ округлите до тысячных)
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все процессы.
Условие задачи
Игральную кость бросают дважды.
- Событие А — «на первой кости выпало меньше пяти очков».
- Событие В — «на второй кости выпало меньше пяти очков».
Нам нужно найти вероятность события \(A \cup B\) (объединение событий А и В), а также найти вероятность \(A \cap B\) (пересечение событий А и В) с помощью таблицы элементарных исходов. В конце — округлить ответ до тысячных.
Шаг 1. Определение элементарных исходов
Кость имеет 6 граней с числами: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Каждое бросание — независимо.
Общее число возможных исходов для двух бросков:
\[ 6 \times 6 = 36 \]
Обозначим исходы в виде пар \((x, y)\), где \(x\) — результат первого броска, \(y\) — результат второго.
Шаг 2. Определение событий А и В
Событие А — «на первой кости выпало меньше пяти очков»:
Результаты первой кости: 1, 2, 3, 4, то есть:
\[ A = \{(x, y) | x \in \{1, 2, 3, 4\}\} \]Событие В — «на второй кости выпало меньше пяти очков»:
Результаты второй кости: 1, 2, 3, 4, то есть:
\[ B = \{(x, y) | y \in \{1, 2, 3, 4\}\} \]
Шаг 3. Построение таблицы элементарных исходов
Таблица показывает все 36 исходов и отметим, какие из них относятся к событиям А, В, и одновременно к обоим.
| \(\backslash\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Шаг 4. Вычисление вероятностей
Общее число исходов: 36
Число исходов, соответствующих А:
Все пары, где первый результат меньше 5:
(1, y), (2, y), (3, y), (4, y), для y=1..6
Всего: \(4 \times 6 = 24\) исхода.Число исходов, соответствующих В:
Все пары, где второй результат меньше 5:
(x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4), для x=1..6
Всего: \(6 \times 4 = 24\) исхода.
Шаг 5. Вычисление \(A \cup B\) и \(A \cap B\)
Пересечение \(A \cap B\) — исходы, где одновременно оба условия:
- Первый результат < 5: {1, 2, 3, 4}
- Второй результат < 5: {1, 2, 3, 4}
Все пары, где оба результата из этого множества:
\(\{(x, y) | x \in \{1,2,3,4\}, y \in \{1,2,3,4\}\}\)
Итог:
\(4 \times 4 = 16\) исходов.Объединение \(A \cup B\) — все исходы, где хотя бы одно из условий выполнено:
Число исходов, где \(x < 5\): 24 (из пункта выше).
Число исходов, где \(y < 5\): 24.Посчитаем объединение через формулу:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]Но для определения вероятностей в числовом виде:
\[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 24 + 24 - 16 = 32 \]
Проверка: действительно, в таблице исходов, есть 32 исхода, где хотя бы одно условие выполнено.
Шаг 6. Варианты вероятностей
Вероятности считаются как:
\[ P(E) = \frac{\text{число исходов, соответствующих событию E}}{36} \]
- \(P(A) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \approx 0,667\)
- \(P(B) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3} \approx 0,667\)
- \(P(A \cap B) = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0,444\)
- \(P(A \cup B) = \frac{32}{36} = \frac{8}{9} \approx 0,889\)
Итоговые ответы:
- Вероятность \(A \cup B \approx 0,889\) (округлено до тысячных).
- Вероятность \(A \cap B \approx 0,444\).
Ответы:
Вероятность события \(A \cup B\) — примерно 0,889.
Если нужно, я могу помочь с дополнительными расчетами, либо пояснить какие-либо шаги!
