Юра вышел из спортзала после тренировки и отправился в сторону магазина. Одновременно с Юрой из магазина в спортзал вышла его подруга Оля. В момент встречи Юре оставалось идти ещё…

Давайте подробно решим задачу, объясняя каждый шаг.

Дано:

• Юра идет к магазину и ему осталось идти 4 минуты до встречи.
• Оля идет из магазина к спортзалу и ей осталось идти 16 минут до встречи.
• Они идут с постоянной скоростью.
• Нужно найти, через сколько минут после выхода они встретились.

---

Шаг 1: Обозначим переменные

• Пусть \( t \) — время (в минутах), прошедшее с момента выхода Юры и Оли до их встречи.
• Пусть \( v_J \) — скорость Юры.
• Пусть \( v_O \) — скорость Оли.
• Пусть \( D \) — расстояние между спортзалом и магазином.

---

Шаг 2: Используем информацию о оставшемся времени

• В момент встречи, Юра еще должен пройти 4 минуты, а значит:

  \[ \text{расстояние Юры после } t \text{ минут} = v_J \times (t - t_{первая часть}), \]

  но проще: поскольку он шел с постоянной скоростью и оставалось 4 минуты, чтобы дойти до магазина, значит:

  \[ \text{Общее расстояние между двумя точками} = v_J \times (t + 4), \]

  и то же для Оли:

  \[ \text{Общее расстояние} = v_O \times (t + 16). \]

• Однако лучше подойти чуть иначе.

---

Шаг 3: Связь расстояний и времени

• Пусть \( S \) — расстояние между спортзалом и магазином.

• В момент встречи:

  • Юра прошел расстояние, равное расстоянию от его точки старта до точки встречи.

  • Аналогично, Оля прошла за время \( t \).

• Время, за которое каждый прошел свой путь, равно:

  • Юра: \( t \) минут и он оставлял 4 минуты до магазина, значит, он начал свой путь чуть раньше, или более точно: он шел с постоянной скоростью и оставалось идти 4 минуты — значит, он прошел все расстояние за (прошедшее время) \( t \), а оставшееся — 4 минуты.

• Значит, Юра прошел расстояние (до точки встречи):

\[ d_J = v_J \times t, \]

а для Оли:

\[ d_O = v_O \times t. \]

---

Шаг 4: Связь скоростей через оставшееся время

• Юра идет к магазину, осталось идти 4 минуты, значит:

\[ v_J \times 4 = \text{расстояние от Юры до магазина в момент встречи}. \]

• Аналогично для Оли:

\[ v_O \times 16 = \text{расстояние от Оли до спортзала в момент встречи}. \]

• В момент встречи расстояние между ними — это сумма их пройденных расстояний:

\[ d_J + d_O = S, \]

где \( S \) — исходное расстояние между спортзалом и магазином.

---

Шаг 5: Связь расстояний и скоростей

• Из условий:

\[ d_J = v_J \times t, \] \[ d_O = v_O \times t, \]

и:

\[ v_J \times 4 = \text{расстояние, которое осталось Юре до магазина} \]

\[ v_O \times 16 = \text{расстояние, которое осталось Оле до спортзала} \]

• Учтем, что Юра и Оля шли с постоянной скоростью и стартовали одновременно.

• Расстояния они прошли и оставшиеся расстояния связаны через их скорости.

---

Шаг 6: Найдем отношения скоростей

Рассмотрим:

\[ v_J \times 4 = \text{расстояние от Юры до магазина в момент встречи}, \] \[ v_O \times 16 = \text{расстояние от Оли до спортзала в момент встречи}. \]

• Общий путь от спортзала до магазина равен

\[ S = \text{расстояние пройденное Юрой} + \text{расстояние пройденное Олей}. \]

Но можем просто применить пропорцию по времени.

---

Шаг 7: Рассмотрим движение

• В момент встречи, Юра прошел

\[ d_J = v_J \times t, \]

• Оля —

\[ d_O = v_O \times t. \]

• Время, прошедшее с выхода: \( t \).

• Расстояния до точки встречи:

\[ \text{От Юры:} \quad d_J, \] \[ \text{От Оли:} \quad d_O. \]

• Полное расстояние \( S \):

\[ S = d_J + d_O. \]

---

Шаг 8: Связь скоростей и оставшегося времени

• Юра шел с постоянной скоростью, ему осталось идти 4 мин, чтобы дойти до магазина. Тогда:

\[ \text{Общее расстояние} = v_J \times (t + 4), \]

или, что быстрее, поскольку он шел с постоянной скоростью и осталось 4 минуты (остается в пути):

\[ d_{\text{всего}} = v_J \times t + v_J \times 4, \]

но \( v_J \times t \) — пройденное Юрой расстояние к моменту встречи, то есть \( d_J \).

Аналогично для Оли, осталось идти 16 минут, всего:

\[ d_{O,\text{всего}} = v_O \times t + v_O \times 16, \]

и \( v_O \times t \) — пройденное Олей расстояние.

---

Шаг 9: Итоговая формулировка

Из данных:

\[ d_J = v_J \times t, \]

\[ d_O = v_O \times t, \]

и

\[ v_J \times 4 = \text{расстояние от Юры до магазина в момент встречи}, \]

\[ v_O \times 16 = \text{расстояние от Оли до спортзала в момент встречи}. \]

Общая дистанция между ними равно:

\[ d_J + d_O = S. \]

Но от сюда видно, что скорости связаны через:

\[ v_J = \frac{d_J}{t}, \] \[ v_O = \frac{d_O}{t}. \]

---

Финальный шаг:

Поскольку Юра шел с постоянной скоростью и оставалось идти 4 минуты, его скорость:

\[ v_J = \frac{\text{расстояние до магазина}}{t + 4}, \]

но, поскольку скорость постоянна и он шел на встречу, за время \( t \) он прошел часть пути, и за оставшиеся 4 минуты до встречи оставалось пройти \( v_J \times 4 \). Аналогично для Оли.

---

Решение через пропорцию:

Поскольку обе движутся одновременно и со статическими скоростями, а разница их оставшегося времени — 16 минут, то:

\[ \frac{\text{расстояние, пройденное Юрой}}{\text{расстояние, пройденное Олей}} = \frac{v_J \times t}{v_O \times t} = \frac{v_J}{v_O}. \]

Из оставшихся времен:

\[ v_J \times 4 = \text{расстояние, которое осталось Юре пройти}, \] \[ v_O \times 16 = \text{расстояние, которое осталось Оле пройти}. \]

Поскольку оба в момент встречи находились на маршруте и двигались с постоянными скоростями, то

\[ \frac{v_J}{v_O} = \frac{\text{ост. путь Оли}}{\text{ост. путь Юры}} = \frac{v_O \times 16}{v_J \times 4} = \frac{16 v_O}{4 v_J} = \frac{4 v_O}{v_J}, \]

откуда

\[ v_J^2 = 4 v_O^2, \]

или

\[ v_J = 2 v_O. \]

---

Итог:

Поскольку:

\[ d_J = v_J t, \] \[ d_O = v_O t, \] и они достигнут друг друга за время \( t \).

Общая длина пути у них:

\[ d_J + d_O = S, \]

а по оставшимся времени:

\[ v_J \times 4 = \text{расстояние, оставшееся Юре} = d_{\text{Юра осталось}], \]

и

\[ v_O \times 16 = \text{расстояние, оставшееся Оле}. \]

Поскольку их скорости связаны, можем записать:

\[ v_J = 2 v_O, \]

тогда оставшееся расстояние:

\[ d_{\text{Юра}} = v_J t, \] \[ d_{\text{Оля}} = v_O t, \]

и,

\[ v_J t + v_O t = S, \]

или

\[ (2 v_O) t + v_O t = 3 v_O t = S. \]

Также, из оставшегося пути:

\[ v_J \times 4 = 2 v_O \times 4 = 8 v_O, \] \[ v_O \times 16 = 16 v_O. \]

Путь Юры остается 8 \( v_O \), а путь Оли — 16 \( v_O \).

Поскольку они двигались навстречу друг другу, расстояние между ними в момент встречи равно:

\[ d_J + d_O = 8 v_O + 16 v_O = 24 v_O. \]

Общий путь \( S = 3 v_O t \), следовательно:

\[ 3 v_O t = 24 v_O, \]

откуда:

\[ t = \frac{24 v_O}{3 v_O} = 8. \]

---

Ответ:

Через 8 минут после выхода Юра и Оля встретились.

---

Если нужна более короткая форма или дополнительные объяснения — сообщите!