Реши задачу: площадь равнобедренного треугольника равна 4 корня из 3. Угол лежащий напротив основания равен 120 градусов. Найди длину боковой стороны. ( геометрия 8 класс)
Дано:
- Площадь равнобедренного треугольника \(S = 4\sqrt{3}\)
- Угол напротив основания \(\angle A = 120^\circ\)
Обозначим:
- Боковые стороны: \(AB = AC = x\)
- Основание (основание равнобедренного треугольника): \(BC = b\)
Шаг 1. Построение и обозначение
Пусть треугольник \(ABC\), где \(AB = AC = x\), а основание — \(BC = b\). Угол \(\angle A = 120^\circ\).
Шаг 2. Выражение площади через боковые стороны и угол
Площадь равнобедренного треугольника можно найти через боковые стороны и угол между ними:
\[
S = \frac{1}{2} x^2 \sin 120^\circ
\]
Подставим значение:
\[
4\sqrt{3} = \frac{1}{2} x^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
(так как \(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).
Шаг 3. Решение уравнения для \(x\)
\[
4\sqrt{3} = \frac{1}{2} x^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Перемножим:
\[
4\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2
\]
Упростим:
\[
4\sqrt{3} \times 4 = \sqrt{3} x^2
\]
\[ 16 \sqrt{3} = \sqrt{3} x^2 \]
- Разделим обе части на \(\sqrt{3}\):
\[ 16 = x^2 \] - Тогда:
\[ x = \sqrt{16} = 4 \]
Ответ: длина боковой стороны равна \(\boxed{4}\).
