Даны две правильные треугольные призмы. Сторона основания и высота первой призмы равны соответственно 6 и 14, а второй 7 и 3. Во сколько раз объём первой призмы больше объёма…

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, во сколько раз объем первой призмы больше объема второй.

Дано:

• Первая призма: сторона основания \( a_1 = 6 \), высота \( h_1 = 14 \).
• Вторая призма: сторона основания \( a_2 = 7 \), высота \( h_2 = 3 \).

Объем призмы вычисляется по формуле: \[ V = S_{осн} \times h, \] где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Так как призмы правильные и основание — правильный треугольник, то площадь основания \( S_{осн} \) для треугольника со стороной \( a \) рассчитывается как: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]

Шаг 1. Найдём площадь основания каждой призмы:

Первая призма: \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9 \sqrt{3}. \]

Вторая призма: \[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 7^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 49 = \frac{49}{4} \sqrt{3}. \]

Шаг 2. Найдём объем каждой призмы:

Объем первой: \[ V_1 = S_1 \times h_1 = 9 \sqrt{3} \times 14 = 126 \sqrt{3}. \]

Объем второй: \[ V_2 = S_2 \times h_2 = \frac{49}{4} \sqrt{3} \times 3 = \frac{49}{4} \times 3 \sqrt{3} = \frac{147}{4} \sqrt{3}. \]

Шаг 3. Вычислим отношение объёмов:

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{126 \sqrt{3}}{\frac{147}{4} \sqrt{3}}. \]

Упростим, сокращая \(\sqrt{3}\):

\[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{126}{\frac{147}{4}} = 126 \times \frac{4}{147} = \frac{126 \times 4}{147}. \]

Значения упростим:

\[ 126 \times 4 = 504, \] и

\[ \frac{504}{147} = \frac{504 \div 7}{147 \div 7} = \frac{72}{21} = \frac{24}{7}. \]

Ответ:

Объем первой призмы в \(\frac{24}{7}\) раз больше объема второй.

Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнение — обращайтесь!