Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, во сколько раз объем первой призмы больше объема второй.
Дано:
- Первая призма: сторона основания ( a_1 = 6 ), высота ( h_1 = 14 ).
- Вторая призма: сторона основания ( a_2 = 7 ), высота ( h_2 = 3 ).
Объем призмы вычисляется по формуле:
[
V = S_{осн} \times h,
]
где ( S_{осн} ) — площадь основания, ( h ) — высота.
Так как призмы правильные и основание — правильный треугольник, то площадь основания ( S_{осн} ) для треугольника со стороной ( a ) рассчитывается как:
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
]
Шаг 1. Найдём площадь основания каждой призмы:
Первая призма:
[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9 \sqrt{3}.
]
Вторая призма:
[
S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 7^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 49 = \frac{49}{4} \sqrt{3}.
]
Шаг 2. Найдём объем каждой призмы:
Объем первой:
[
V_1 = S_1 \times h_1 = 9 \sqrt{3} \times 14 = 126 \sqrt{3}.
]
Объем второй:
[
V_2 = S_2 \times h_2 = \frac{49}{4} \sqrt{3} \times 3 = \frac{49}{4} \times 3 \sqrt{3} = \frac{147}{4} \sqrt{3}.
]
Шаг 3. Вычислим отношение объёмов:
[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{126 \sqrt{3}}{\frac{147}{4} \sqrt{3}}.
]
Упростим, сокращая (\sqrt{3}):
[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{126}{\frac{147}{4}} = 126 \times \frac{4}{147} = \frac{126 \times 4}{147}.
]
Значения упростим:
[
126 \times 4 = 504,
]
и
[
\frac{504}{147} = \frac{504 \div 7}{147 \div 7} = \frac{72}{21} = \frac{24}{7}.
]
Ответ:
Объем первой призмы в (\frac{24}{7}) раз больше объема второй.
Если есть дополнительные вопросы или нужно уточнение — обращайтесь!
