Решите неравенство (2x - 5)/(3x + 6) < 0 и укажите наибольшее целое решение

Рассмотрим неравенство: \[ \frac{2x - 5}{3x + 6} < 0 \] Цель — найти значения \(x\), при которых дробь отрицательна, то есть меньше нуля. Шаг 1: Анализировать знак дроби Дробь отрицательна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный. Шаг 2: Найти точки нулей числителя и знаменателя - числитель \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5\) - знаменатель \(3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2\) Эти точки делят числовую ось на интервалы: \[ (-\infty, -2), \quad (-2, 2.5), \quad (2.5, +\infty) \] Шаг 3: Исследовать знаки на каждом интервале Проверим знак дроби в каждом интервале, подставляя точки: - Пускай \(x = -3\), в интервале \((-\infty, -2)\): \[ 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11 < 0 \] \[ 3(-3) + 6 = -9 + 6 = -3 < 0 \] Дробь = \(\frac{-11}{-3} = +\), положительна. Значит, на этом интервале дробь positive. - Пускай \(x = 0\), в интервале \((-2, 2.5)\): \[ 2(0) - 5 = -5 < 0 \] \[ 3(0) + 6 = 6 > 0 \] Дробь = \(\frac{-5}{6} < 0\). Значит, в этом интервале дробь отрицательна. Это часть решения. - Пускай \(x = 3\), в интервале \((2.5, +\infty)\): \[ 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 > 0 \] \[ 3(3) + 6 = 9 + 6 = 15 > 0 \] Дробь = \(\frac{+}{+} = +\), положительна. Значит, на этом интервале дробь положительна. Шаг 4: Определяем решение и исключения - Дробь меньше нуля на интервале \((-2, 2.5)\). - Не включаем точки, где знаменатель равен нулю: \(x = -2\). Потому что в точке \(-2\) дробь не определена. - Не включаем точку нуля числителя: \(x= 2.5\), потому что в этой точке дробь равна нулю, а условие строгое (< 0). **ИТОГ:** \[ x \in (-2, 2.5) \] Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этим условиям. Целые числа в промежутке \((-2, 2.5)\): - \(-1\) - \(0\) - \(1\) - \(2\) Проверим их: - Для \(x = -1\): \[ \frac{2(-1) - 5}{3(-1) + 6} = \frac{-2 - 5}{-3 + 6} = \frac{-7}{3} < 0 \] Важное уточнение — дробь действительно отрицательна, решение подходит. - Для \(x=0\): \[ \frac{-5}{6} < 0 \] подходит. - Для \(x=1\): \[ \frac{2 - 5}{3 + 6} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} < 0 \] подходит. - Для \(x=2\): \[ \frac{4 - 5}{6 + 6} = \frac{-1}{12} < 0 \] подходит. Наибольшее целое решение — это 2. **Ответ:** **Наибольшее целое решение: \(\boxed{2}\)**