Решите неравенство (2x - 5)/(3x + 6) < 0 и укажите наибольшее целое решение

Рассмотрим неравенство:

\[ \frac{2x - 5}{3x + 6} < 0 \]

Цель — найти значения \(x\), при которых дробь отрицательна, то есть меньше нуля.

Шаг 1: Анализировать знак дроби

Дробь отрицательна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки: один положительный, другой отрицательный.

Шаг 2: Найти точки нулей числителя и знаменателя

• числитель \(2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5\)

• знаменатель \(3x + 6 = 0 \Rightarrow x = -2\)

Эти точки делят числовую ось на интервалы:

\[ (-\infty, -2), \quad (-2, 2.5), \quad (2.5, +\infty) \]

Шаг 3: Исследовать знаки на каждом интервале

Проверим знак дроби в каждом интервале, подставляя точки:

• Пускай \(x = -3\), в интервале \((-\infty, -2)\):

  \[ 2(-3) - 5 = -6 - 5 = -11 < 0 \] \[ 3(-3) + 6 = -9 + 6 = -3 < 0 \] Дробь = \(\frac{-11}{-3} = +\), положительна. Значит, на этом интервале дробь positive.

• Пускай \(x = 0\), в интервале \((-2, 2.5)\):

  \[ 2(0) - 5 = -5 < 0 \] \[ 3(0) + 6 = 6 > 0 \] Дробь = \(\frac{-5}{6} < 0\). Значит, в этом интервале дробь отрицательна. Это часть решения.

• Пускай \(x = 3\), в интервале \((2.5, +\infty)\):

  \[ 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 > 0 \] \[ 3(3) + 6 = 9 + 6 = 15 > 0 \] Дробь = \(\frac{+}{+} = +\), положительна. Значит, на этом интервале дробь положительна.

Шаг 4: Определяем решение и исключения

• Дробь меньше нуля на интервале \((-2, 2.5)\).

• Не включаем точки, где знаменатель равен нулю: \(x = -2\).
  Потому что в точке \(-2\) дробь не определена.

• Не включаем точку нуля числителя: \(x= 2.5\), потому что в этой точке дробь равна нулю, а условие строгое (< 0).

ИТОГ:

\[ x \in (-2, 2.5) \]

Нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этим условиям.

Целые числа в промежутке \((-2, 2.5)\):

• \(-1\)
• \(0\)
• \(1\)
• \(2\)

Проверим их:

• Для \(x = -1\):

  \[ \frac{2(-1) - 5}{3(-1) + 6} = \frac{-2 - 5}{-3 + 6} = \frac{-7}{3} < 0 \] Важное уточнение — дробь действительно отрицательна, решение подходит.

• Для \(x=0\):

  \[ \frac{-5}{6} < 0 \] подходит.

• Для \(x=1\):

  \[ \frac{2 - 5}{3 + 6} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} < 0 \] подходит.

• Для \(x=2\):

  \[ \frac{4 - 5}{6 + 6} = \frac{-1}{12} < 0 \] подходит.

Наибольшее целое решение — это 2.

Ответ:

Наибольшее целое решение: \(\boxed{2}\)