А)Решите уравнение sin(5п/2+3х)+cos(7п+х)=корень 3cos (7п/2+x). б)Найдите все корни ,принадлежащие промежутку [-3п/2; –п]. Укажите ответы пункта б), умноженные на 12/п

Давайте решим вашу задачу поэтапно. Для этого я подробно объясню каждое действие и шаги решения.

---

Задача:

Решить уравнение: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x \right) + \cos(7\pi + x) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x\right), \] найти все его корни на промежутке \([- \frac{3\pi}{2}; - \pi]\), а затем умножить ответы на \( \frac{12}{\pi} \).

---

Шаг 1: Упростим триггономические выражения

1.1 Упростим \(\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x \right)\):

Знаем, что \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta\), так что:

\[ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}. \]

Следовательно,

\[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x \right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 3x \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 3x \right), \] поскольку \(\sin\) от этого аргумента не изменится.

---

1.2 Упростим \(\cos(7\pi + x)\):

\[ 7\pi + x = (6\pi + \pi) + x = 6\pi + (\pi + x), \] и так как \(\cos(\theta + 2\pi k) = \cos \theta\), тогда:

\[ \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x), \] так как \(6\pi\) — это кратное \(2\pi\), и они не меняют значения косинуса.

1.3 Упростим \(\cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)\):

\[ \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}. \] Так как \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta\), то:

\[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x \right) = \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right). \]

Значит, \[ \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right), \] ведь \(\cos(\theta + 3\pi) = -\cos \theta\), потому что \(\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta\), а \(3\pi = \pi + 2\pi\), то:

\[ \cos(\theta + 3\pi) = \cos(\theta + \pi + 2\pi) = -\cos \theta, \] следовательно,

\[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right). \]

---

Шаг 2: Запишем упрощенное уравнение

Теперь у нас:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x \right) + \cos(\pi + x) = \sqrt{3} \cdot \left( - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right)\right). \]

Заменим \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right)\):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x \right) = \cos(3x), \] так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta\).

Заменим \(\cos(\pi + x)\):

\[ \cos(\pi + x) = - \cos x, \] так как \(\cos(\pi + \theta) = - \cos \theta\).

Заменим \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right)\):

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin x, \] так как \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin x\).

Итак, уравнение принимает вид:

\[ \cos(3x) - \cos x = \sqrt{3} \cdot (-(- \sin x)) = \sqrt{3} \sin x. \]

Обозначим финальную форму:

\[ \cos(3x) - \cos x = \sqrt{3} \sin x. \]

---

Шаг 3: Решить полученное уравнение

3.1 Используем формулу тройного аргумента для \(\cos(3x)\):

\[ \cos(3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x. \]

Подставим это в уравнение:

\[ (4 \cos^3 x - 3 \cos x) - \cos x = \sqrt{3} \sin x, \] или

\[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x = \sqrt{3} \sin x. \]

Обозначим \(t = \cos x\). Тогда \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\). Внимание: знак \(\pm\) зависит от значения \(x\).

Перепишем уравнение:

\[ 4 t^3 - 4 t = \sqrt{3} \sin x, \] или

\[ \boxed{ 4 t^3 -4 t = \sqrt{3} \sin x. } \]

ВАЖНО: Чтобы выразить \(\sin x\) через \(t\), заметим, что \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\).

Добавим это:

\[ 4 t^3 - 4 t = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2}. \]

Теперь рассмотрим два случая.

---

Шаг 4: Решение по \(t = \cos x\)

4.1 Первый случай: положительный знак

\[ 4 t^3 - 4 t = \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2}. \]

Возьмем квадраты обеих частей (чтобы избавиться от знака \(\pm\)), но это добавит возможных лишних решений, поэтому и после нужно проверить.

\[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 3 (1 - t^2). \]

Раскроем левую часть:

\[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 16 t^6 - 2 \times 4 t^3 \times 4 t + 16 t^2 = 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2. \]

Итак,

\[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 = 3 - 3 t^2. \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 + 3 t^2 - 3 = 0, \] \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 19 t^2 - 3 = 0. \]

---

4.2 Сделаем замену \(u = t^2\):

Тогда получаем:

\[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = 0. \]

Это кубическое уравнение относительно \(u\).

---

Шаг 5: Решение куба \(16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = 0\)

Чтобы решить его, попробуем найти рациональные корни по теореме Виетта: делители свободного члена \(-3\): \(\pm 1, \pm 3\).

Проверим \(u=1\):

\[ 16 - 32 + 19 - 3 = 0, \] что равно \(-0\), то есть, \(u=1\) — корень.

Делим куб по этому корню:

\[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = (u - 1)(\text{квадратичная дробь}). \]

Выполним деление или воспользуемся делением многочленов.

---

Деление полиномов

Обратимся к делению:

Обозначим:

\[ (16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3) \div (u - 1). \]

Используя полиномиальное деление или схему Горнера:

• Корень \(u=1\), делим:

\[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 \div (u - 1). \]

При делении:

• Начальное деление:

\[ 16 u^3 \div u = 16 u^2, \] умножим \((u - 1)\) на \(16 u^2\):

\[ 16 u^3 - 16 u^2, \] вычитаем:

\[ (-32 u^2 + 16 u^2) = -16 u^2, \] остаток: \(-16 u^2 + 19 u - 3\).

• Делим \(-16 u^2\) на \(u\):

\[ -16 u, \] умножим:

\[ -16 u^2 + 16 u, \] вычитаем:

\[ (19 u - 16 u) = 3 u, \] остаток: \(3 u - 3\).

• Делим \(3 u\) на \(u\):

\[ +3, \] умножим:

\[ 3 u - 3, \] вычитаем:

\[ (3 u - 3) - (3 u - 3) = 0. \]

Итак, деление завершилось, и частное:

\[ 16 u^2 - 16 u + 3, \] остаток 0.

---

Итог:

\[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = (u - 1)(16 u^2 - 16 u + 3). \]

Решим квадратичное уравнение:

\[ 16 u^2 - 16 u + 3 = 0. \]

Дискриминант:

\[ \Delta = (-16)^2 - 4 \times 16 \times 3 = 256 - 192 = 64. \]

Корни:

\[ u = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2 \times 16} = \frac{16 \pm 8}{32}. \]

Значит,

• При "+":

\[ u = \frac{16 + 8}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}, \]

• При "–":

\[ u = \frac{16 - 8}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}. \]

Итоговые корни \(u\):

\[ u = 1,\quad u = \frac{3}{4},\quad u = \frac{1}{4}. \]

---

Шаг 6: Восстановление \(t = \cos x\)

Recall, \(u = t^2\):

• \(u=1\) → \(t=\pm1\),
• \(u=3/4\) → \(t=\pm \sqrt{3/4} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\),
• \(u=1/4\) → \(t=\pm \frac{1}{2}\).

Проверим, какие из этих решений подходят.

Помним, что при первоначальных преобразованиях:

\[ 4 t^3 - 4 t = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2}. \]

Рассматриваем каждый случай, выбирая знак \(\pm\) так, чтобы равенство выполнялось.

---

Шаг 7: Анализ решений

7.1 Для \(t=1\):

\[ 4(1)^3 - 4(1) = 4 - 4 = 0, \] правая часть:

\[ \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - 1} = \pm \sqrt{3} \times 0 = 0. \] Совпадает. Можно взять любой знак, и равенство выполняется.

Проверка для \(\sin x = 0\):

\[ \sin x = \pm \sqrt{1 - t^2} = 0, \] значит, \(\sin x = 0\). Тогда

\[ x = 0 , \pi , 2 \pi, \ldots \] Но \(t = \cos x = 1\), при \(x = 0, 2\pi, \ldots\)

---

7.2 Для \(t= -1\):

\[ 4(-1)^3 - 4(-1) = -4 + 4 = 0, \] тоже равно нулю. В \(\sin x\):

\[ \sin x = \pm \sqrt{1 - (-1)^2} = \pm 0 = 0, \] значит, \(\sin x=0\). Возможные \(x = 0, \pi, 2 \pi, \ldots\)

Обратите внимание: при \(t=-1\), \(\cos x = -1\), а это происходит при \(x=\pi + 2k\pi\).

---

7.3 Для \(t= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ 4 t^3 - 4 t, \] подставим \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ t^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3= \frac{\sqrt{3}^3}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}. \]

Теперь:

\[ 4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{8} - 2 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 2 \sqrt{3} = \left(\frac{3}{2} - 2\right)\sqrt{3} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}. \]

Проверка с правой частью:

\[ \pm \sqrt{3} \times \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \pm \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. \]

Чтобы равенство выполнялось:

\[ - \frac{\sqrt{3}}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Это возможно только при \(\boxed{\text{знаке минус}} \). То есть,

\[ 4 t^3 - 4 t = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \] и совпадает с правой стороной.

Это решение подходит при:

\[ t = \frac{\sqrt{3}}{2}\quad (\text{не подходит}), \quad t = - \frac{\sqrt{3}}{2}\quad (\text{подходит}). \]

Аналогично для \(- \frac{\sqrt{3}}{2}\), проверка даст обратный знак.

---

Итог по корням \(t=\cos x\):

• \(t=1 \Rightarrow x= 2\pi k\),
• \(t=-1 \Rightarrow x= \pi + 2\pi k\),
• \(t= \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\),
• \(t= - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\),
• \(t= \frac{1}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\),
• \(t= - \frac{1}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k\).

---

Шаг 8: Фильтрация по промежутку \([- \frac{3\pi}{2}; - \pi]\)

Нужно найти все \(x\) из вышеперечисленных значений, попадающие в промежуток:

\[ - \frac{3\pi}{2} \le x \le - \pi. \]

Рассмотрим каждый случай:

• \(x = 2 \pi k\):

  Для \(k=-1\):

  \[ x= -2\pi, \] а это меньше \(- \frac{3\pi}{2} \approx -4.712\),

  нет, так как \(-2\pi \approx -6.283\), это входит (\( -6.283 \geq -4.712 \) — нет).

  Actually, сравнивая: \(-2\pi \approx -6.283\), это меньше \(-\frac{3\pi}{2} \approx -4.712\), поэтому не входит.

  Для \(k= -1\):

  \(x= -2\pi\) — не входит (меньше границы).

  Для \(k= -1\):

  \(x= -2 \pi \approx -6.283\) — не входит.

  Для \(k= -1\), \(x= -2\pi\), что меньше \(-\frac{3\pi}{2}\), не подходит.

  Для \(k= -1\):

  \(x= -2\pi\quad\) – не входит.

  Для \(k= -1\) — то же.

  Для \(k= -1\), \(-2\pi \approx -6.283\), что меньше \(-4.712\); не входит.

• \(x = \pi + 2\pi k\):

  \[ x = \pi + 2\pi k. \]

  Для \(k=-1\):

  \[ x= \pi - 2\pi = -\pi, \] что равно \(-\pi\), входят в границы (на границе).

  Для \(k=-2\):

  \[ x= \pi - 4\pi= -3\pi, \] равен \(-3\pi\), что равно \(-9.424\), меньше \(-4.712\), не входит.

  Поэтому, на промежутке:

  \[ x= -\pi, \] входит.

• \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\):

  Для \(k=0\):

  \[ x= \frac{\pi}{6}\approx 0.523, \] за пределами интервала.

  Для \(k=-1\):

  \[ x= - \frac{\pi}{6}\approx -0.523, \] не в интервале (положительной верхней границы \(-\pi \approx -3.141\)).

  Для \(\pm \frac{\pi}{6}\), не попадает внутрь интервала.

• \(x= \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\):

  При \(k=0\):

  \[ x=\frac{5\pi}{6}\approx 2.617, \] не входит.

  \[ x= -\frac{5\pi}{6}\approx -2.617, \] входит, так как \(-2.617 \ge -\frac{3\pi}{2} \approx -4.712\), и \( -2.617 \le -\pi \approx -3.141\), так что:

  \(-3.141 \le -2.617 \le -1.57\),

  следовательно, входит.

  Для \(k \neq 0\):

  Это даёт значения вне интервала, не рассматриваем.

• \(x= \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\):

  При \(k=0\):

  \[ x= \frac{\pi}{3} \approx 1.047, \] вне интервала.

  \[ x= -\frac{\pi}{3}\approx -1.047, \] вход.

• \(x= \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k\):

  Для \(k=0\):

  \[ x= \frac{2\pi}{3} \approx 2.094, \] вне.

  \[ x= - \frac{2\pi}{3} \approx -2.094, \] входит.

---

Итоговые решения на данном интервале:

\[ \boxed{ x = -\pi,\quad -\frac{5\pi}{6},\quad -\frac{\pi}{3},\quad -\frac{2\pi}{3}. } \]

---

Шаг 9: Умножение найденных решений на \(\frac{12}{\pi}\)

Перемножим каждое:

• \(x = -\pi\):

\[ x' = -\pi \times \frac{12}{\pi} = -12, \]

• \(x= -\frac{5\pi}{6}\):

\[ x' = -\frac{5\pi}{6} \times \frac{12}{\pi} = -\frac{5 \times 12}{6} = -\frac{60}{6} = -10, \]

• \(x = - \frac{\pi}{3}\):

\[ x' = - \frac{\pi}{3} \times \frac{12}{\pi} = - \frac{12}{3} = -4, \]

• \(x= - \frac{2\pi}{3}\):

\[ x' = - \frac{2\pi}{3} \times \frac{12}{\pi} = - \frac{24}{3} = -8. \]

Ответ:

\[ \boxed{ -12, \quad -10, \quad -4, \quad -8. } \]

---

Если есть еще вопросы или нужно уточнить шаги — обращайтесь!