А)Решите уравнение sin(5п/2+3х)+cos(7п+х)=корень 3cos (7п/2+x). б)Найдите все корни ,принадлежащие промежутку [-3п/2; –п]. Укажите ответы пункта б), умноженные на 12/п

Давайте решим вашу задачу поэтапно. Для этого я подробно объясню каждое действие и шаги решения. --- ### Задача: Решить уравнение: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x \right) + \cos(7\pi + x) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x\right), \] найти все его корни на промежутке \([- \frac{3\pi}{2}; - \pi]\), а затем умножить ответы на \( \frac{12}{\pi} \). --- ## Шаг 1: Упростим триггономические выражения ### 1.1 Упростим \(\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x \right)\): Знаем, что \(\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta\), так что: \[ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}. \] Следовательно, \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x \right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 3x \right) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 3x \right), \] поскольку \(\sin\) от этого аргумента не изменится. --- ### 1.2 Упростим \(\cos(7\pi + x)\): \[ 7\pi + x = (6\pi + \pi) + x = 6\pi + (\pi + x), \] и так как \(\cos(\theta + 2\pi k) = \cos \theta\), тогда: \[ \cos(7\pi + x) = \cos(\pi + x), \] так как \(6\pi\) — это кратное \(2\pi\), и они не меняют значения косинуса. ### 1.3 Упростим \(\cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)\): \[ \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}. \] Так как \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta\), то: \[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x \right) = \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right). \] Значит, \[ \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x \right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right), \] ведь \(\cos(\theta + 3\pi) = -\cos \theta\), потому что \(\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta\), а \(3\pi = \pi + 2\pi\), то: \[ \cos(\theta + 3\pi) = \cos(\theta + \pi + 2\pi) = -\cos \theta, \] следовательно, \[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right). \] --- ## Шаг 2: Запишем упрощенное уравнение Теперь у нас: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x \right) + \cos(\pi + x) = \sqrt{3} \cdot \left( - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right)\right). \] Заменим \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right)\): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x \right) = \cos(3x), \] так как \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta \right) = \cos \theta\). Заменим \(\cos(\pi + x)\): \[ \cos(\pi + x) = - \cos x, \] так как \(\cos(\pi + \theta) = - \cos \theta\). Заменим \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right)\): \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin x, \] так как \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x \right) = - \sin x\). Итак, уравнение принимает вид: \[ \cos(3x) - \cos x = \sqrt{3} \cdot (-(- \sin x)) = \sqrt{3} \sin x. \] Обозначим финальную форму: \[ \cos(3x) - \cos x = \sqrt{3} \sin x. \] --- ## Шаг 3: Решить полученное уравнение ### 3.1 Используем формулу тройного аргумента для \(\cos(3x)\): \[ \cos(3x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x. \] Подставим это в уравнение: \[ (4 \cos^3 x - 3 \cos x) - \cos x = \sqrt{3} \sin x, \] или \[ 4 \cos^3 x - 4 \cos x = \sqrt{3} \sin x. \] Обозначим \(t = \cos x\). Тогда \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\). Внимание: знак \(\pm\) зависит от значения \(x\). Перепишем уравнение: \[ 4 t^3 - 4 t = \sqrt{3} \sin x, \] или \[ \boxed{ 4 t^3 -4 t = \sqrt{3} \sin x. } \] **ВАЖНО:** Чтобы выразить \(\sin x\) через \(t\), заметим, что \(\sin x = \pm \sqrt{1 - t^2}\). Добавим это: \[ 4 t^3 - 4 t = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2}. \] Теперь рассмотрим два случая. --- ## Шаг 4: Решение по \(t = \cos x\) ### 4.1 Первый случай: положительный знак \[ 4 t^3 - 4 t = \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2}. \] Возьмем квадраты обеих частей (чтобы избавиться от знака \(\pm\)), но это добавит возможных лишних решений, поэтому и после нужно проверить. \[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 3 (1 - t^2). \] Раскроем левую часть: \[ (4 t^3 - 4 t)^2 = 16 t^6 - 2 \times 4 t^3 \times 4 t + 16 t^2 = 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2. \] Итак, \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 = 3 - 3 t^2. \] Перенесем все в левую сторону: \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 16 t^2 + 3 t^2 - 3 = 0, \] \[ 16 t^6 - 32 t^4 + 19 t^2 - 3 = 0. \] --- ### 4.2 Сделаем замену \(u = t^2\): Тогда получаем: \[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = 0. \] Это кубическое уравнение относительно \(u\). --- ## Шаг 5: Решение куба \(16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = 0\) Чтобы решить его, попробуем найти рациональные корни по теореме Виетта: делители свободного члена \(-3\): \(\pm 1, \pm 3\). Проверим \(u=1\): \[ 16 - 32 + 19 - 3 = 0, \] что равно \(-0\), то есть, \(u=1\) — корень. Делим куб по этому корню: \[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = (u - 1)(\text{квадратичная дробь}). \] Выполним деление или воспользуемся делением многочленов. --- ### Деление полиномов Обратимся к делению: Обозначим: \[ (16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3) \div (u - 1). \] Используя полиномиальное деление или схему Горнера: - Корень \(u=1\), делим: \[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 \div (u - 1). \] При делении: - Начальное деление: \[ 16 u^3 \div u = 16 u^2, \] умножим \((u - 1)\) на \(16 u^2\): \[ 16 u^3 - 16 u^2, \] вычитаем: \[ (-32 u^2 + 16 u^2) = -16 u^2, \] остаток: \(-16 u^2 + 19 u - 3\). - Делим \(-16 u^2\) на \(u\): \[ -16 u, \] умножим: \[ -16 u^2 + 16 u, \] вычитаем: \[ (19 u - 16 u) = 3 u, \] остаток: \(3 u - 3\). - Делим \(3 u\) на \(u\): \[ +3, \] умножим: \[ 3 u - 3, \] вычитаем: \[ (3 u - 3) - (3 u - 3) = 0. \] Итак, деление завершилось, и частное: \[ 16 u^2 - 16 u + 3, \] остаток 0. --- ### Итог: \[ 16 u^3 - 32 u^2 + 19 u - 3 = (u - 1)(16 u^2 - 16 u + 3). \] Решим квадратичное уравнение: \[ 16 u^2 - 16 u + 3 = 0. \] Дискриминант: \[ \Delta = (-16)^2 - 4 \times 16 \times 3 = 256 - 192 = 64. \] Корни: \[ u = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2 \times 16} = \frac{16 \pm 8}{32}. \] Значит, - При "+": \[ u = \frac{16 + 8}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}, \] - При "–": \[ u = \frac{16 - 8}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}. \] Итоговые корни \(u\): \[ u = 1,\quad u = \frac{3}{4},\quad u = \frac{1}{4}. \] --- ## Шаг 6: Восстановление \(t = \cos x\) Recall, \(u = t^2\): - \(u=1\) → \(t=\pm1\), - \(u=3/4\) → \(t=\pm \sqrt{3/4} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\), - \(u=1/4\) → \(t=\pm \frac{1}{2}\). ### Проверим, какие из этих решений подходят. **Помним**, что при первоначальных преобразованиях: \[ 4 t^3 - 4 t = \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - t^2}. \] Рассматриваем каждый случай, выбирая знак \(\pm\) так, чтобы равенство выполнялось. --- ## Шаг 7: Анализ решений ### 7.1 Для \(t=1\): \[ 4(1)^3 - 4(1) = 4 - 4 = 0, \] правая часть: \[ \pm \sqrt{3} \sqrt{1 - 1} = \pm \sqrt{3} \times 0 = 0. \] Совпадает. Можно взять любой знак, и равенство выполняется. Проверка для \(\sin x = 0\): \[ \sin x = \pm \sqrt{1 - t^2} = 0, \] значит, \(\sin x = 0\). Тогда \[ x = 0 , \pi , 2 \pi, \ldots \] Но \(t = \cos x = 1\), при \(x = 0, 2\pi, \ldots\) --- ### 7.2 Для \(t= -1\): \[ 4(-1)^3 - 4(-1) = -4 + 4 = 0, \] тоже равно нулю. В \(\sin x\): \[ \sin x = \pm \sqrt{1 - (-1)^2} = \pm 0 = 0, \] значит, \(\sin x=0\). Возможные \(x = 0, \pi, 2 \pi, \ldots\) **Обратите внимание:** при \(t=-1\), \(\cos x = -1\), а это происходит при \(x=\pi + 2k\pi\). --- ### 7.3 Для \(t= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ 4 t^3 - 4 t, \] подставим \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ t^3 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3= \frac{\sqrt{3}^3}{8} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}. \] Теперь: \[ 4 \times \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{8} - 2 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 2 \sqrt{3} = \left(\frac{3}{2} - 2\right)\sqrt{3} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}. \] Проверка с правой частью: \[ \pm \sqrt{3} \times \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \pm \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Чтобы равенство выполнялось: \[ - \frac{\sqrt{3}}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Это возможно только при \(\boxed{\text{знаке минус}} \). То есть, \[ 4 t^3 - 4 t = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \] и совпадает с правой стороной. Это решение подходит при: \[ t = \frac{\sqrt{3}}{2}\quad (\text{не подходит}), \quad t = - \frac{\sqrt{3}}{2}\quad (\text{подходит}). \] Аналогично для \(- \frac{\sqrt{3}}{2}\), проверка даст обратный знак. --- ## Итог по корням \(t=\cos x\): - \(t=1 \Rightarrow x= 2\pi k\), - \(t=-1 \Rightarrow x= \pi + 2\pi k\), - \(t= \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\), - \(t= - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), - \(t= \frac{1}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\), - \(t= - \frac{1}{2} \Rightarrow x= \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k\). --- ## Шаг 8: Фильтрация по промежутку \([- \frac{3\pi}{2}; - \pi]\) Нужно найти все \(x\) из вышеперечисленных значений, попадающие в промежуток: \[ - \frac{3\pi}{2} \le x \le - \pi. \] Рассмотрим каждый случай: - \(x = 2 \pi k\): Для \(k=-1\): \[ x= -2\pi, \] а это меньше \(- \frac{3\pi}{2} \approx -4.712\), нет, так как \(-2\pi \approx -6.283\), это **входит** (\( -6.283 \geq -4.712 \) — нет). Actually, сравнивая: \(-2\pi \approx -6.283\), это меньше \(-\frac{3\pi}{2} \approx -4.712\), поэтому **не входит**. Для \(k= -1\): \(x= -2\pi\) — **не входит** (меньше границы). Для \(k= -1\): \(x= -2 \pi \approx -6.283\) — **не входит**. Для \(k= -1\), \(x= -2\pi\), что меньше \(-\frac{3\pi}{2}\), не подходит. Для \(k= -1\): \(x= -2\pi\quad\) – **не входит**. Для \(k= -1\) — то же. Для \(k= -1\), \(-2\pi \approx -6.283\), что меньше \(-4.712\); не входит. - \(x = \pi + 2\pi k\): \[ x = \pi + 2\pi k. \] Для \(k=-1\): \[ x= \pi - 2\pi = -\pi, \] что равно \(-\pi\), входят в границы (на границе). Для \(k=-2\): \[ x= \pi - 4\pi= -3\pi, \] равен \(-3\pi\), что равно \(-9.424\), меньше \(-4.712\), **не входит**. Поэтому, на промежутке: \[ x= -\pi, \] входит. - \(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k\): Для \(k=0\): \[ x= \frac{\pi}{6}\approx 0.523, \] за пределами интервала. Для \(k=-1\): \[ x= - \frac{\pi}{6}\approx -0.523, \] не в интервале (положительной верхней границы \(-\pi \approx -3.141\)). Для \(\pm \frac{\pi}{6}\), не попадает внутрь интервала. - \(x= \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\): При \(k=0\): \[ x=\frac{5\pi}{6}\approx 2.617, \] не входит. \[ x= -\frac{5\pi}{6}\approx -2.617, \] входит, так как \(-2.617 \ge -\frac{3\pi}{2} \approx -4.712\), и \( -2.617 \le -\pi \approx -3.141\), так что: \(-3.141 \le -2.617 \le -1.57\), следовательно, **входит**. Для \(k \neq 0\): Это даёт значения вне интервала, не рассматриваем. - \(x= \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi k\): При \(k=0\): \[ x= \frac{\pi}{3} \approx 1.047, \] вне интервала. \[ x= -\frac{\pi}{3}\approx -1.047, \] вход. - \(x= \pm \frac{2\pi}{3} + 2 \pi k\): Для \(k=0\): \[ x= \frac{2\pi}{3} \approx 2.094, \] вне. \[ x= - \frac{2\pi}{3} \approx -2.094, \] входит. --- ## Итоговые решения на данном интервале: \[ \boxed{ x = -\pi,\quad -\frac{5\pi}{6},\quad -\frac{\pi}{3},\quad -\frac{2\pi}{3}. } \] --- ## Шаг 9: Умножение найденных решений на \(\frac{12}{\pi}\) Перемножим каждое: - \(x = -\pi\): \[ x' = -\pi \times \frac{12}{\pi} = -12, \] - \(x= -\frac{5\pi}{6}\): \[ x' = -\frac{5\pi}{6} \times \frac{12}{\pi} = -\frac{5 \times 12}{6} = -\frac{60}{6} = -10, \] - \(x = - \frac{\pi}{3}\): \[ x' = - \frac{\pi}{3} \times \frac{12}{\pi} = - \frac{12}{3} = -4, \] - \(x= - \frac{2\pi}{3}\): \[ x' = - \frac{2\pi}{3} \times \frac{12}{\pi} = - \frac{24}{3} = -8. \] **Ответ:** \[ \boxed{ -12, \quad -10, \quad -4, \quad -8. } \] --- Если есть еще вопросы или нужно уточнить шаги — обращайтесь!