А)Решите уравнение sin(5п/2+3х)+cos(7п+х)=корень 3cos (7п/2+x).
Конечно! Давайте подробно решим уравнение:
\[
\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x\right) + \cos(7\pi + x) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x \right)
\]
Шаг 1: Упростим каждое тригонометрическое выражение
1. Упростим \( \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x\right) \)
Используем свойство периода синуса и формулы для суммы:
- \( \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \)
- \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
Но более удобно воспользоваться формулой:
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x\right) \]
Здесь, поскольку \( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \), то:
\[ \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 3x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \]
Поскольку синус смещён на \( 2\pi \) не меняется, получаем:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \]
Известна формула:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta \]
Следовательно:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = \cos 3x \]
2. Упростим \( \cos(7\pi + x) \)
Если учесть, что \( \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \), то:
\[ \cos(7\pi + x) = \cos(7\pi + x - 6\pi) = \cos(\pi + x) \]
Поскольку \( 7\pi = 3 \times 2\pi + \pi \). Используем формулу:
\[ \cos(\pi + x) = -\cos x \]
3. Упростим правую часть \( \sqrt{3} \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x \right) \)
Обратим внимание, что:
\[ \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \]
Поскольку \( 3\pi = 2\pi + \pi \), то:
\[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) \]
Используем свойство косинуса:
\[ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \]
и то, что:
\[ \cos(3\pi + \beta) = \cos(3\pi) \cos \beta - \sin(3\pi) \sin \beta \]
Известно:
\[ \cos 3\pi = -1,\quad \sin 3\pi = 0 \]
Следовательно,
\[ \cos(3\pi + \beta) = - \cos \beta \]
Подставляем \(\beta = \frac{\pi}{2} + x\):
\[ \cos \left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) = - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \]
И снова, по формуле:
\[ \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \]
Следовательно:
\[ \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) = - \left(- \sin x \right) = \sin x \]
Шаг 2: Запишем упрощённое уравнение
Подставляем полученные выражения:
\[ \cos 3x + (- \cos x) = \sqrt{3} \times \sin x \]
Или, более аккуратно:
\[ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x \]
Шаг 3: Используем формулы для преобразования
Запишем слева разность косинусов:
\[ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \]
В нашем случае \(A=3x\), \( B=x \):
\[ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac{3x + x}{2} \sin \frac{3x - x}{2} = -2 \sin 2x \sin x \]
Подставляем:
\[ -2 \sin 2x \sin x = \sqrt{3} \sin x \]
Шаг 4: Разделим обе части на \(\sin x\), если \(\sin x \neq 0\)
Рассмотрим два случая:
Случай 1: \(\sin x \neq 0\)
Тогда делим обе части уравнения на \(\sin x\):
\[ -2 \sin 2x = \sqrt{3} \]
Используем формулу:
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
Подставляем:
\[ -2 \times 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} \] \[ -4 \sin x \cos x = \sqrt{3} \]
Делим обе стороны на \(-4\):
\[ \sin x \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{4} \]
Шаг 5: Решение уравнения \(\sin x \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Используем формулу:
\[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \]
Тогда:
\[ \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{4} \]
Умножим обе части на 2:
\[ \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Решаем:
\[ \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Значения:
\[ \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad \text{или} \quad \theta = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \]
заменяя \(\theta = 2x\):
\[ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi k \] \[ 2x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \]
Шаг 6: Рассмотрим случай \(\sin x = 0\)
Тогда уравнение изначально обращается к 0 = \(\sqrt{3} \sin x \Rightarrow 0 = 0\), что равно 0 — условие всегда выполняется.
Значит, нужно найти \(x\), при которых \(\sin x=0\):
\[ \sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x= \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ:
Общее решение уравнения — это оба набора значений \(x\):
\[ \boxed{ x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} } \]
и
\[ x = \frac{2\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z} \]
Если нужно, я могу помочь с более точным оформлением или дополнением.
