А)Решите уравнение sin(5п/2+3х)+cos(7п+х)=корень 3cos (7п/2+x).

Конечно! Давайте подробно решим уравнение: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x\right) + \cos(7\pi + x) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x \right) \] --- ### Шаг 1: Упростим каждое тригонометрическое выражение #### 1. Упростим \( \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x\right) \) Используем свойство периода синуса и формулы для суммы: - \( \sin(\alpha + 2\pi k) = \sin \alpha \) - \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) Но более удобно воспользоваться формулой: \[ \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 3x\right) \] Здесь, поскольку \( \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} \), то: \[ \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2} + 3x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \] Поскольку синус смещён на \( 2\pi \) не меняется, получаем: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \] Известна формула: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta \] Следовательно: \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = \cos 3x \] --- #### 2. Упростим \( \cos(7\pi + x) \) Если учесть, что \( \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \), то: \[ \cos(7\pi + x) = \cos(7\pi + x - 6\pi) = \cos(\pi + x) \] Поскольку \( 7\pi = 3 \times 2\pi + \pi \). Используем формулу: \[ \cos(\pi + x) = -\cos x \] --- #### 3. Упростим правую часть \( \sqrt{3} \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x \right) \) Обратим внимание, что: \[ \frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2} \] Поскольку \( 3\pi = 2\pi + \pi \), то: \[ \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \cos\left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) \] Используем свойство косинуса: \[ \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos \alpha \] и то, что: \[ \cos(3\pi + \beta) = \cos(3\pi) \cos \beta - \sin(3\pi) \sin \beta \] Известно: \[ \cos 3\pi = -1,\quad \sin 3\pi = 0 \] Следовательно, \[ \cos(3\pi + \beta) = - \cos \beta \] Подставляем \(\beta = \frac{\pi}{2} + x\): \[ \cos \left(3\pi + \frac{\pi}{2} + x\right) = - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \] И снова, по формуле: \[ \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \] Следовательно: \[ \cos \left( \frac{7\pi}{2} + x \right) = - \left(- \sin x \right) = \sin x \] --- ### Шаг 2: Запишем упрощённое уравнение Подставляем полученные выражения: \[ \cos 3x + (- \cos x) = \sqrt{3} \times \sin x \] Или, более аккуратно: \[ \cos 3x - \cos x = \sqrt{3} \sin x \] --- ### Шаг 3: Используем формулы для преобразования Запишем слева разность косинусов: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \] В нашем случае \(A=3x\), \( B=x \): \[ \cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac{3x + x}{2} \sin \frac{3x - x}{2} = -2 \sin 2x \sin x \] Подставляем: \[ -2 \sin 2x \sin x = \sqrt{3} \sin x \] --- ### Шаг 4: Разделим обе части на \(\sin x\), если \(\sin x \neq 0\) Рассмотрим два случая: **Случай 1:** \(\sin x \neq 0\) Тогда делим обе части уравнения на \(\sin x\): \[ -2 \sin 2x = \sqrt{3} \] Используем формулу: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Подставляем: \[ -2 \times 2 \sin x \cos x = \sqrt{3} \] \[ -4 \sin x \cos x = \sqrt{3} \] Делим обе стороны на \(-4\): \[ \sin x \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{4} \] --- ### Шаг 5: Решение уравнения \(\sin x \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{4}\) Используем формулу: \[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \] Тогда: \[ \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{4} \] Умножим обе части на 2: \[ \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Решаем: \[ \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Значения: \[ \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, \quad \text{или} \quad \theta = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \] заменяя \(\theta = 2x\): \[ 2x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi k \] \[ 2x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi k \] --- ### Шаг 6: Рассмотрим случай \(\sin x = 0\) Тогда уравнение изначально обращается к 0 = \(\sqrt{3} \sin x \Rightarrow 0 = 0\), что равно 0 — условие всегда выполняется. Значит, нужно найти \(x\), при которых \(\sin x=0\): \[ \sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x= \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \] --- ### **Ответ:** Общее решение уравнения — это оба набора значений \(x\): \[ \boxed{ x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} } \] и \[ x = \frac{2\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z} \] --- Если нужно, я могу помочь с более точным оформлением или дополнением.