В треугольнике ABCугол C равен 90°, sinA=4/5.Найдите длину стороны AC

Давайте решим задачу поэтапно с подробными объяснениями. **Дано:** - \( \angle C = 90^\circ \) — треугольник \( ABC \) является прямоугольным с гипотенузой \( AB \). - \( \sin A = \frac{4}{5} \). **Требуется:** - Найти длину стороны \( AC \). --- ### Шаг 1. Определение углов и сторон В прямоугольном треугольнике с углом \( C = 90^\circ \), стороны против углов: - \( A \) — сторона \( BC \), - \( B \) — сторона \( AC \), - \( C \) — гипотенуза \( AB \). Обозначим: - \( a = BC \) — против угла \( A \), - \( b = AC \) — против угла \( B \), - \( c = AB \) — гипотенуза против \( C \). При этом: - \( \sin A = \frac{противоположная сторона}{гипотенуза} = \frac{a}{c} \). Но по условию: \[ \sin A = \frac{4}{5}. \] --- ### Шаг 2. Найти стороны Из формулы: \[ \sin A = \frac{a}{c} = \frac{4}{5}. \] Можно представить стороны в виде пропорции — это будет прямоугольный треугольник с катетами \( 4 \) и \( 3 \), и гипотенузой \( 5 \), так как по теореме Пифагора: \[ \text{гипотенуза}^2 = \text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2. \] Для подобного треугольника: \[ a = 4k, \quad c = 5k, \] где \( k \) — некоторый коэффициент масштаба. Тогда: \[ a = 4k, \quad c = 5k. \] --- ### Шаг 3. Найти сторону \( AC \) Нам нужно найти \( AC \), которая — сторона \( b \). В прямоугольном треугольнике есть еще одна формула, связывающая углы и стороны: \[ \sin A = \frac{a}{c} \quad \text{(уже есть получается)}. \] Также известно, что: \[ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}. \] Значит,: \[ \cos A = \frac{b}{c}, \] так как \( \cos A = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \). Но сторона, прилежащая углу \( A \) — это \( b = AC \). Следовательно: \[ \frac{b}{c} = \frac{3}{5}. \] Подставляем \( c = 5k \): \[ \frac{b}{5k} = \frac{3}{5} \Rightarrow b = 3k. \] --- ### Шаг 4. Итог Обозначим \( AC = b = 3k \). Но чтобы конкретно найти \( AC \), нужно знать \( k \). **Здесь нужно заметить:** без дополнительных данных о длине гипотенузы \( AB \) или другой стороны, мы можем только выразить \( AC \) через коэффициент \( k \). Если задача предполагает, что \( гипотенуза = 5 \), тогда \( k = 1 \). --- ### **Ответ:** **Если гипотенуза равна 5 единицам, то:** \[ AC = b = 3k = 3 \times 1 = 3. \] **Итак, длина стороны \( AC \) равна 3.** --- Если исходить из стандартной ситуации, где гипотенуза равна 5, то **длина \( AC = 3 \)**. **Ответ: \(\boxed{3}\).** --- Если у вас есть дополнительные условия (например, длина гипотенузы или другой известный элемент), сообщите, и я дополню решение!