Сделай с решением

Рассмотрим данное неравенство: \[ \frac{x^2(3 - x)}{x^2 - 8x + 16} \leq 0 \]

Шаг 1. Анализируем знаменатель \[ x^2 - 8x + 16 \] Этот квадрат — это полный квадрат: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \] Поэтому: \[ (x - 4)^2 \geq 0 \quad \text{для любого } x \] Значение равно нулю при \( x = 4 \). Важно учитывать, что деление на ноль невозможно, поэтому в области определения неравенства исключаем \( x = 4 \).

Шаг 2. Проведем признаки числителя и знаменателя

• Числитель: \( x^2(3 - x) \)

  • \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), и равно нулю при \( x = 0 \).

  • \( 3 - x \):

    • положительно при \( x < 3 \),
    • равно нулю при \( x = 3 \),
    • отрицательно при \( x > 3 \).

• Знаменатель: \( (x - 4)^2 \geq 0 \), равно нулю при \( x = 4 \) (исключаем из области определения).

Шаг 3. Исследуем знак дроби

Дробь \(\frac{A}{B}\) ≤ 0, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю при определённых условиях.

• Область определения: все \( x \neq 4 \).

• Знак числителя:

  • \( x^2 \geq 0 \), равно нулю при \( x=0 \),

  • \( 3 - x \):

    • положительно при \( x < 3 \),
    • равно нулю при \( x=3 \),
    • отрицательно при \( x > 3 \).

• Анализируем знак числителя:

  • при \( x < 0 \):

    • \( x^2 > 0 \),
    • \( 3 - x > 0 \),

    итого числитель > 0.

  • при \( 0 < x < 3 \):

    • \( x^2 > 0 \),
    • \( 3 - x > 0 \),

    итого числитель > 0.

  • при \( x = 0 \):

    • числитель = 0,

    дробь равна 0.

  • при \( x = 3 \):

    • \( x^2 > 0 \),
    • \( 3 - 3 = 0 \),

    числитель = 0, дробь = 0.

  • при \( x > 3 \):

    • \( x^2 > 0 \),
    • \( 3 - x < 0 \),

    итого числитель < 0.

Шаг 4. Анализируем знак всей дроби

• На интервале \( (-\infty, 0) \):

  • числитель > 0,
  • знаменатель > 0 (так как \( (x - 4)^2 > 0 \) для \( x \neq 4 \)),
  • дробь > 0.

• На интервале \( (0, 3) \):

  • числитель > 0,
  • знаменатель > 0,
  • дробь > 0.

• В точке \( x=0 \):

  • дробь = 0.

• В точке \( x=3 \):

  • дробь = 0.

• На интервале \( (3, 4) \):

  • числитель < 0 (\( x^2 > 0 \), \( 3 - x < 0 \)),
  • знаменатель > 0,
  • дробь < 0.

• В точке \( x=4 \):

  • знаменатель равен нулю — исключаем из области определения.

• На интервале \( (4, \infty) \):

  • числитель < 0,
  • знаменатель > 0,
  • дробь < 0.

Шаг 5. Итог

Нужно найти все \( x \), при которых дробь ≤ 0:

• Когда дробь равна 0:

  • при \( x=0 \),
  • при \( x=3 \),

• Когда дробь отрицательна:

  • на интервале \( (3, 4) \) (исключая 4, так как деление на 0),
  • на интервале \( (4, \infty) \).

Однако, поскольку область определения исключает \( x=4 \),

Итог: решение

\[ x \in [0, 3] \cup (3, 4) \cup (4, \infty) \]

или

\[ x \in [0, 3] \cup (4, \infty) \]

Ответ:

\[ x \in [0, 3] \cup (4, \infty) \]