Сделай с решением

Рассмотрим данное неравенство: \[ \frac{x^2(3 - x)}{x^2 - 8x + 16} \leq 0 \] Шаг 1. Анализируем знаменатель \[ x^2 - 8x + 16 \] Этот квадрат — это полный квадрат: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \] Поэтому: \[ (x - 4)^2 \geq 0 \quad \text{для любого } x \] Значение равно нулю при \( x = 4 \). Важно учитывать, что деление на ноль невозможно, поэтому в области определения неравенства исключаем \( x = 4 \). Шаг 2. Проведем признаки числителя и знаменателя - Числитель: \( x^2(3 - x) \) - \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), и равно нулю при \( x = 0 \). - \( 3 - x \): - положительно при \( x < 3 \), - равно нулю при \( x = 3 \), - отрицательно при \( x > 3 \). - Знаменатель: \( (x - 4)^2 \geq 0 \), равно нулю при \( x = 4 \) (исключаем из области определения). Шаг 3. Исследуем знак дроби Дробь \(\frac{A}{B}\) ≤ 0, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки или числитель равен нулю при определённых условиях. - Область определения: все \( x \neq 4 \). - Знак числителя: - \( x^2 \geq 0 \), равно нулю при \( x=0 \), - \( 3 - x \): - положительно при \( x < 3 \), - равно нулю при \( x=3 \), - отрицательно при \( x > 3 \). - Анализируем знак числителя: - при \( x < 0 \): - \( x^2 > 0 \), - \( 3 - x > 0 \), итого числитель > 0. - при \( 0 < x < 3 \): - \( x^2 > 0 \), - \( 3 - x > 0 \), итого числитель > 0. - при \( x = 0 \): - числитель = 0, дробь равна 0. - при \( x = 3 \): - \( x^2 > 0 \), - \( 3 - 3 = 0 \), числитель = 0, дробь = 0. - при \( x > 3 \): - \( x^2 > 0 \), - \( 3 - x < 0 \), итого числитель < 0. Шаг 4. Анализируем знак всей дроби - На интервале \( (-\infty, 0) \): - числитель > 0, - знаменатель > 0 (так как \( (x - 4)^2 > 0 \) для \( x \neq 4 \)), - дробь > 0. - На интервале \( (0, 3) \): - числитель > 0, - знаменатель > 0, - дробь > 0. - В точке \( x=0 \): - дробь = 0. - В точке \( x=3 \): - дробь = 0. - На интервале \( (3, 4) \): - числитель < 0 (\( x^2 > 0 \), \( 3 - x < 0 \)), - знаменатель > 0, - дробь < 0. - В точке \( x=4 \): - знаменатель равен нулю — исключаем из области определения. - На интервале \( (4, \infty) \): - числитель < 0, - знаменатель > 0, - дробь < 0. Шаг 5. Итог Нужно найти все \( x \), при которых дробь ≤ 0: - Когда дробь равна 0: - при \( x=0 \), - при \( x=3 \), - Когда дробь отрицательна: - на интервале \( (3, 4) \) (исключая 4, так как деление на 0), - на интервале \( (4, \infty) \). Однако, поскольку область определения исключает \( x=4 \), Итог: решение \[ x \in [0, 3] \cup (3, 4) \cup (4, \infty) \] или \[ x \in [0, 3] \cup (4, \infty) \] **Ответ:** \[ x \in [0, 3] \cup (4, \infty) \]